Задание 14. Стереометрическая задача
За правильное выполненное задание без ошибок получишь 2 балла.
На решение отводится примерно 20 минут.
Чтобы решить задание 14 по математике профильного уровня нужно знать:
- планиметрию и стереометрию.
- теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. AC2+ BC2 = AB2
Формула вычисления расстояния:
- от точки до плоскости — общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. Точка M (Mx, My,Mz)
- d=\frac { ∣A*Mx+B*My+C*Mz+D∣ } { \sqrt { A2+B2+C2 } }
- между плоскостями d = \frac { |D_2 - D_1| } { \sqrt { A^2 + B^2+ C^2 } }
- между двумя точками на плоскости AB = \sqrt { (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 }
- между двумя точками в пространстве AB = \sqrt { (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }
Формула вычисления угла:
- между прямой и плоскостью \sin φ = \frac { |A*l+ B*m + C*n| } { \sqrt { A^2+B^2+C^2 } * \sqrt { l^2+m^2+n^2 } }
где в пространстве заданы уравнение плоскости и направляющий вектор прямой L S = {l;m;n}
- между плоскостями \cosα = \frac { |A_1*A_2 + B _1*B_2+C _1*C_2 | } { \sqrt { A_1^2 + B _1^2 + C _1^2 }* \sqrt { A_2^2 + B _2^2 + C_2^2 } }
Задачи для тренировки
Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 численно равны 12. На AA1 и CC1 отмечены точки K и E соответственно, причём AK = 4, CE = 2.
а) Докажите, что плоскость KEB1 делит фигуру на два равных по объёму многогранника.
б) Найдите объём тетраэдра KEBB1.
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что на ребре BC лежит точка K, причем она является серединой этого ребра. Длины рёбер: AB =4\sqrt{2} , AA1 = 4
а) Приведите доказательство того, что B1C ⊥ C1K
б) Определите угол между плоскостью ABB1A1 прямой C1K.
Дан правильный тетраэдр ABCS, в котором построены: точка K на ребре CS и точка O в плоскости ABC. Причем O является центром ABC и CK = KD.
а) Приведите доказательство того, что АВ⊥СS.
б) Определите градусную меру угла между SO и ВK.
Дан цилиндр. Образующая цилиндра перпендикулярна к плоскости основания. На окружности нижнего основания цилиндра лежат точки K и L, а на окружности верхнего основания — точки Q и P, причем так, что QL является образующей, а МK пересекает центральную ось цилиндра.
а) Приведите доказательство того, что ∠ KLP = 90∘.
б) Определите градусную меру угла между LQ и KP, если ML = 3, LQ=\sqrt{5}, а QP = 4.
В прямой треугольной призме АВСA1B1C1 известны длины ребер: АС = 1, ВС = 2, АВ = \sqrt{5} , СС1 = 3.
а) Приведите доказательство того, что прямая, по которой пересекаются плоскости АВС1 и A1B1C параллельна основанию призмы.
б) Определите градусную меру угла между плоскостями АВС1 и A1B1C.