Задание 16. Планиметрическая задача
За правильное выполненное задание без ошибок получишь 3 балла.
На решение отводится примерно 25 минут.
Чтобы решить задание 16 по математике профильного уровня нужно знать:
- Формула нахождения углов правильного n – угольника: α_n=\frac { 180^ { 0 } (n-2) } { n }
- Формула нахождения длины стороны правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R: α=2R sin\frac { 180^ { 0 } } { n }
- Формула нахождения длины стороны правильного n – угольника, описанного около окружности радиуса r: α=2r tg \frac { 180^ { 0 } } { n }
- В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.
α + γ = β + δ =1800
ac + bd = d1 d2 (теорема Птолемея),
где a, b, c, d – стороны четырехугольника, d1, d2 – диагонали
S=\sqrt { (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) } ,
где p = \frac { 1 } { 2 } \cdot (a+b+c+d)
- В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
a + с = b + d, S = p ∙ r
- Длина окружности: C=2πR=πD;
- Длина дуги окружности: l=\frac { \pi Rn^0 } { 180^0 } =Rα;
- Площадь круга: Sкр=πR2=\frac { 1 } { 4 } πD2= \frac { 1 } { 2 } CR.
Площади фигур
- Параллелограмм S=aha; S=ab sinγ
- Треугольник S=\frac { 1 } { 2 } ah_a; S=\frac { 1 } { 2 } ab \sin \gamma
- Трапеция S=\frac { a+d } { 2 } \cdot h
- Ромб S=\frac { 1 } { 2 } \cdot d_1d_2 ;d1,d2 — диагонали
Дополнительные формулы в статье «Планиметрия»
Задачи для тренировки
В прямоугольнике ABCD с центром O диагональ AC образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит снаружи прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что углы ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24
Дан квадрат ABCD. Вокруг него описана окружность. Диагональ BD пересекает хорду CP в точке N.
а) Приведите доказательство того, что CP ∗ CN = AB ∗ CD
б) Определите отношение CP к PN, если ∠NCD = 15°
Даны две окружности с центрами P и Q. Они пересекаются в точках A и M и центры окружностей лежат по разные стороны от AM. Продолжения диаметра BA первой окружности пересекает вторую окружность в точке N, а хорда BM этой окружности - в точке C.
а) Приведите доказательство подобия треугольников BMN и PAQ.
б) Найдите AN, если ∠NAC = ∠MAB, радиус второй окружности в четыре раза больше радиуса первой и AM = 5
Дана прямоугольная трапеция ABCD с прямым углом ADC. На большем основании CD построена окружность, диаметром которой является CD. Окружность пересекает меньшее основание AB в точках K и B.
а) Приведите доказательство того, что ∠ ADK = ∠BDC.
б) Если диагонали АBCD пересекаются в точке H, найдите площадь треугольника DHA, если AD = 8, а AB = 2 AK.
Даны две окружности с центрами A и B и радиусами 3 и 4. Эти окружности пересекаются в точках C и D. Через C провели прямую, пересекающую обе окружности в точках P и R, причем эти точки лежат по разные стороны от точки A. который вписан в AB = 5, PR = 7
а) Приведите доказательство подобия треугольников DPR и ABC.
б) Определите расстояние от точки D до прямой PR.
