Задание 19. Числа и их свойства
За правильное выполненное задание получишь 4 балла.
На решение отводится примерно 40 минут.
Чтобы решить задание 19 по математике профильного уровня нужно знать:
- Задание подразделяется на несколько видов:
- числа и их свойства;
- числовые наборы на карточках и досках;
- последовательности и прогрессии;
- сюжетные задачи
- Признаки делимости чисел.
- Уметь применять их для решения различных задач.
Задачи для тренировки
Дана арифметическая прогрессия, состоящая из n различных чисел, причем n ≥ 3 и n – натуральное число.
а) Возможно ли, что сумма всех чисел прогрессии будет равна 20?
б) Если сумма чисел прогрессии меньше 925, какое наибольшее значение принимает n?
Маше было предложено записать на листочке несколько разных натуральных чисел так, чтобы при умножении любой пары чисел из записанных друг на друга, получалось число больше 43 и меньше 140.
а) Может ли Маша записать 6 чисел, отвечающих условию?
б) Какое максимальное количество чисел можно записать, выполнив условие?
в) Определите наибольшее значение суммы чисел, если записано 4 числа.
Дана последовательность 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 5 } …
а) Докажите существование арифметической прогрессии из 5 членов составленной из членов данной последовательности?
б) Возможно ли составить из членов данной последовательности арифметическую прогрессию, длина которой будет бесконечна?
в) Возможно ли то, что прогрессия будет состоять из 3500 членов?
Кот уронил настенные часы, да так, что числа на циферблате рассыпались. Маленький ребенок заинтересовался данным происшествием и расположил числа на циферблате (от 1 до 12), но в неизвестном порядке. Если для каждой из соседних пар найти наибольший общий делитель, возможны ли следующие ситуации?
а) Может получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?
б) Может ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?
в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?
Дана последовательность первых 34 натуральных чисел от 1 до 32. Выберем 2n который вписан в различных чисел из этой последовательности. Выбранные числа разделим по парам и посчитаем сумму для каждой пары. Все полученные суммы должны быть и не превосходить 38.
а) Возможно ли, что сумма 2n выбранных чисел равняется 290 и в каждой паре число отличается от другого в два раза?
б) Возможно ли следующее: n=17?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа n.
