Теорема Пифагора: формула и доказательство
Теорема Пифагора гласит:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
a2 + b2 = c2,
где
- a и b – катеты, образующие прямой угол.
- с – гипотенуза треугольника.
Формулы теоремы Пифагора
- a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}
- b = \sqrt {c^{2} - a^{2}}
- c = \sqrt {a^{2} + b^{2}}
Доказательство теоремы Пифагора
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
S = \frac{1}{2} ab
Для вычисления площади произвольного треугольника формула площади:
S =pr.
- p – полупериметр. p=\frac{1}{2}(a+b+c),
- r – радиус вписанной окружности. Для прямоугольникаr=\frac{1}{2}(a+b-c).
Потом приравниваем правые части обеих формул для площади треугольника:
\frac{1}{2} ab = \frac{1}{2}(a+b+c) \frac{1}{2}(a+b-c)
2 ab = (a+b+c) (a+b-c)
2 ab = \left( (a+b)^{2} -c^{2} \right)
2 ab = a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}
0=a^{2}+b^{2}-c^{2}
c^{2} = a^{2}+b^{2}
Ч.т.д.
Обратная теорема Пифагора:
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. То есть для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что
a2 + b2 = c2,
существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Теорема Пифагора - одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Доказана она ученым математиком и философом Пифагором.
Значение теоремы в том, что с ее помощью можно доказать другие теоремы и решать задачи.
Дополнительный материал: Теорема о сумме углов треугольника
Смотри также: Основные формулы по математике
Как вы считаете, материал был полезен?