Системы тригонометрических уравнений и их решение: характеристика

Уравнение является равенством с одним, несколькими неизвестными числами. Задача – найти данное неизвестное значение. При необходимости полученный результат подставляется в структуру. Теория математики рекомендует проводить проверку, чтобы убедиться в достоверности полученного результата.

Понятие система тригонометрических уравнений классифицируется как набор условий для поиска неизвестных в нескольких примерах по отношению к двум и более переменным. Связанные выражения объединяются скобкой.

Системы тригонометрических уравнений – это своеобразное задание. Для его решения понадобится алгебра: знание принципов развязки квадратных неравенств, тригонометрический анализ, умение находить неизвестные в простейших уравнениях.

Решение систем тригонометрических уравнений – это упорядоченная подборка числовых значений коэффициентов. Если подставить любое из этих чисел в выражения, торжество будет верным.

Как решать тригонометрические системы уравнений

Чтобы решить систему тригонометрических уравнений, нужно использовать ряд алгебраических методик: заменить переменные, исключить неизвестные. Для исключения используется следующий подход:

• Одно из выражений используется для выделения функции от искомого параметра или непосредственно самого коэффициента. Полученный аргумент подставляется в другие уравнения системы;


• Система трансформируется путем преобразования данных примера. Результаты преобразования группируются с целью уменьшения количества искомых параметров.

Существует класс простейших и сложных задач. Для всех формируется карта решений, предмет задания – поиск значения неизвестного аргумента.

Решение систем тригонометрических уравнений – примеры с решением

Рассмотрим на примере принцип действия при развязке системных задач:

1. Необходимо найти аргументы выражения:

{ x - y = \frac { \pi } { 2 } 5  + 7 \cos x = 3 \cos^2у 

Первый пример системы относится к классу линейных выражений. Для него следует использовать x = \frac { \pi } { 2 } + у. Эту переменную подставляем в нижнюю часть задачи:

5+7 \cos \ cos ( \frac { \pi } { 2 } + у ) = 3 \cos^2y

Дальше рекомендуется применение основного тригонометрического тождества с формулой приведения. Итоговый вид:

5 - 7 \sin y = 3 ( 1 - \sin ^2 y)

3 \sin ^2 y — 7 \sin y + 2 = 0

Для дальнейших действий требуется новая переменная Т = siny. В результате получается квадратная задача с одним искомым:

3Т2 — 7Т + 2 = 0

По условию siny – меньше или равен единице. Пример имеет два корня: Т1 = \frac { 1 } { 2 }, Т2 = 2. Вариант Т2 не удовлетворяет условиям. Следует вернуться к первичному искомому:

\sin y = \frac { 1 } { 3 }, y = (-1)^n \arcsin \frac { 1 } { 3 } + \pi n, где n ∈ Z

Для поиска ответа необходимо: 

x = \frac { \pi } { 2 } + y = \frac { \pi } { 2 } + (-1)^n \arcsin \frac { 1 } { 3 } + \pi n,

Результат: \frac { \pi } { 2 } +( -1)^n \arcsin \frac { 1 } { 3 } + \pi n; (-1)^n \arcsin \frac { 1 } { 3 } + \pi n ), n ∈ Z

2. В условии задачи дана система:

{ \cos x \cos y = \frac { 1 } { 4 } \sin x \sin y = \frac { 3 } { 4 }

Необходимо выполнить сложение и вычитание по членам для получения равносильной комбинации:

{ \cos \cos (x - y)  = 1 \cos \cos ( x + y ) = - \frac { 1 } { 2 } 

Следовательно: { x — y = 2 \pi k, k \in Z     x + y = \mp \frac { 2 \pi } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z 

Последняя система может быть представлена как объединение двух примеров. Для этого итоговое значение первой структуры используется положительное и отрицательное по-отдельности. 

• { x — y = 2 \pi nk, k \in Z     x + y = \frac { 2 \pi n } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z            
• { x — y = 2 \pi k, k \in Z      x + y = — \frac { 2 \pi n } { 3 } + 2 \pi n, n \in Z  

Для получения ответа следует складывать и вычитать члены выражений. В таком случае:

• { x = \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k                y = \frac { \pi } { 3 } + \pi n - \pi k  
• { x =  — \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k          y = — \frac { \pi } { 3 } + \pi n - \pi k

Результат решения: ( \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k; \frac { \pi } { 3 } + \pi n - \pi k ), (— \frac { \pi } { 3 } + \pi n + \pi k ; — \frac { \pi } { 3 } + \pi n - \pi k) при условии k \in Z, n \in Z.