Тригонометрический пример с неизвестным – уравнение. Теория относит к данной классификации выражения, в которых искомый коэффициент располагается исключительно под знаком тригонометрического функционала. Алгебра предлагает два варианта решения задачи:
- Параметр высчитывается на основании специальной формулы;
- Используется тригонометрическая окружность для поиска ответа.
С помощью окружности можно измерить угол, определить значение косинуса, синуса, тангенса или котангенса. Чтобы решать тригонометрические уравнения с параметром, необходимо привести выражение к простейшей форме. Важно учитывать допустимый диапазон и ограничения функционала: у = cosx; x = sinx.
Тригонометрические функции с параметрами – когда нужна проверка
Математика – сложный предмет, где после получения решения зачастую необходимо проверять его достоверность. Уравнение необходимо проверить, чтобы убедиться в правильности найденных корней. Анализ проводится в следующих случаях:
- При поиске значения искомого аргумента пришлось возводить в одинаковую степень левую и правую часть выражения;
- Использовалось тригонометрическое преобразование. Допустимый размер области поиска решения расширяется при использовании определенных формул;
- Для нахождения ответа было применено алгебраическое преобразование. Это также способствует увеличению зоны выявления параметров. Ярким примером являются операции по сокращению дробных примеров.
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами – пример
В задаче требуется определить полный перечень допустимых значений , если при них соблюдается условие:
(tgp — 6)2 — (α2 — 4α + 10) * ((tgp — 6) — 4α3 + 10α2 = 0
Переменная р предусматривает наличие 120 вариантов решения. Установлен полуинтервал: [0, 60π].
Исходя из условия, можно отметить наличие 4 решений для каждого оборота. Допускается пара вариантов функции tg. Необходимое требование для данного задания – положительное значение дискриминанта. Это единственный вариант получения двух корней в квадратном уравнении. Вводим систему:
D = (α2 — 4α + 10)2 — 4 * (10α2 — 4α3)
D = (α2 + (10 — 4α))2 — 4α2 (10 — 4α)
D = α4 — 2α2 (10 — 4α + (10 — 4α2) = (α2 + 4α — 10)2
Из формулы видно, что значение дискриминанта больше 0. В примере присутствует пара корней. Это обусловлено положительным D. Исключение – если D=0. Необходимо высчитать варианты таких точек, чтобы убрать их при решении задачи. Для этого:
α2 + 4α — 10 = 0
D = 16 — 4( — 10) = 56
\alpha_{1,2}= \frac{-4 \ mp \sqrt {56}}{2} = -2 \ mp \sqrt {14}
Результат указывает на отсутствие отрицательных корней в приведенном задании.
Итого: \alpha \in (- \infin; -2 — \sqrt {14}) \cup (-2 — \sqrt {14}; -2 + \sqrt {14}) \cup (-2 + \sqrt {14}; + \infin;)
Тригонометрия с параметром – решение сложного уравнения
В задании представлено сложное выражение функции с параметрами. При этом для обозначения неизвестного используется Х, параметр обозначен А. Общий вид примера:
2 * sin2x + sin x sin x = A
Для решения необходимо трактовать формулу как пример квадратного уравнения по sin sin x. Требуется введение дополнительного коэффициента [t], меньшего или равного единице. Допускается создание вспомогательного примера с дискриминантом D = 1 + 8α
При 1+8α меньше нуля у вспомогательного и исходного задания отсутствуют решения.
При \alpha = - \frac {1}{8} мы имеем однокоренную вспомогательную структуру с корнем t = — \frac {1}{4}, который отвечает требованиям условия и является отрицательным. В таком случае:
x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac {1}{4} + \pi n, n \in Z.
Третий вариант – α > - \frac {1}{8} свидетельствует о наличие двух корней, но только при условии, что дополнительная переменная Т меньше или равна нулю. Рисуем параболу с вершиной у(Т) = 2Т2 + Т — А. Переменная Т – отрицательная, -0.25. Есть один вариант решения между 1 и -1, при условии, что функция от —1 и 1 больше или равна 0. Функция от Т = 2Т2 + Т — А.
2 — 1 — А ≥ 0,2 + 1 — А ≥ 0.
Если А ∈ (1; 3], есть 1 ответ между -1 и 1 для вспомогательной формулы. Значение большего корня:
t = \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4}
\sin x = \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4}
x= (-1)^{n+1} \arcsin \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4} + \pi n, n \ in Z
Если, - \frac {1}{8} < A \le 1 решений между — 1 и 1 будет два:
x= (-1)^{n+1} \arcsin \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4} + \pi n, n \ in Z
Как вы считаете, материал был полезен?