| Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно
Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами: формулы, примеры
336

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами: формулы, примеры

Содержание:





Тригонометрический пример с неизвестным – уравнение. Теория относит к данной классификации выражения, в которых искомый коэффициент располагается исключительно под знаком тригонометрического функционала. Алгебра предлагает два варианта решения задачи:

  • Параметр высчитывается на основании специальной формулы;

  • Используется тригонометрическая окружность для поиска ответа.

С помощью окружности можно измерить угол, определить значение косинуса, синуса, тангенса или котангенса. Чтобы решать тригонометрические уравнения с параметром, необходимо привести выражение к простейшей форме. Важно учитывать допустимый диапазон и ограничения функционала: у = cosx; x = sinx. 

Tetrika-school

Тригонометрические функции с параметрами – когда нужна проверка 

Математика – сложный предмет, где после получения решения зачастую необходимо проверять его достоверность. Уравнение необходимо проверить, чтобы убедиться в правильности найденных корней. Анализ проводится в следующих случаях:

  • При поиске значения искомого аргумента пришлось возводить в одинаковую степень левую и правую часть выражения;

  • Использовалось тригонометрическое преобразование. Допустимый размер области поиска решения расширяется при использовании определенных формул;

  • Для нахождения ответа было применено алгебраическое преобразование. Это также способствует увеличению зоны выявления параметров. Ярким примером являются операции по сокращению дробных примеров.


Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами – пример

В задаче требуется определить полный перечень допустимых значений , если при них соблюдается условие:

(tgp — 6)— (α— 4α + 10) * ((tgp — 6) — 4α+ 10α= 0


Переменная р предусматривает наличие 120 вариантов решения. Установлен полуинтервал: [0, 60π].

Исходя из условия, можно отметить наличие 4 решений для каждого оборота. Допускается пара вариантов функции tg. Необходимое требование для данного задания – положительное значение дискриминанта. Это единственный вариант получения двух корней в квадратном уравнении. Вводим систему:


D = (α— 4α + 10)— 4 * (10α— 4α3)
D = (α+ (10 — 4α))— 4α2 (10 — 4α)
D =  α— 2α(10 — 4α + (10 — 4α2) = (α+ 4α — 10)2

Из формулы видно, что значение дискриминанта больше 0. В примере присутствует пара корней. Это обусловлено положительным D. Исключение – если D=0. Необходимо высчитать варианты таких точек, чтобы убрать их при решении задачи. Для этого:
α+ 4α — 10 = 0
D = 16 — 4( — 10) = 56
\alpha_{1,2}= \frac{-4 \ mp \sqrt {56}}{2} = -2 \ mp \sqrt {14}

Результат указывает на отсутствие отрицательных корней в приведенном задании. 
Итого: \alpha \in (- \infin; -2 — \sqrt {14}) \cup (-2 — \sqrt {14}; -2 + \sqrt {14}) \cup (-2 + \sqrt {14}; + \infin;)



Тригонометрия с параметром – решение сложного уравнения

В задании представлено сложное выражение функции с параметрами. При этом для обозначения неизвестного используется Х, параметр обозначен А. Общий вид примера:

2 * sin2x + sin x sin x = A

Для решения необходимо трактовать формулу как пример квадратного уравнения по sin sin x. Требуется введение дополнительного коэффициента [t], меньшего или равного единице. Допускается создание вспомогательного примера с дискриминантом D = 1 + 8α

При 1+8α меньше нуля у вспомогательного и исходного задания отсутствуют решения.

При \alpha = - \frac {1}{8} мы имеем однокоренную вспомогательную структуру с корнем t = — \frac {1}{4}, который отвечает требованиям условия и является отрицательным. В таком случае:

x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac {1}{4} + \pi n, n \in Z.

Третий вариант – α > - \frac {1}{8} свидетельствует о наличие двух корней, но только при условии, что дополнительная переменная Т меньше или равна нулю. Рисуем параболу с вершиной у(Т) = 2Т+ Т — А. Переменная Т – отрицательная, -0.25. Есть один вариант решения между 1 и -1, при условии, что функция от —1 и 1 больше или равна 0. Функция от Т = 2Т+ Т — А.

2 — 1 — А ≥ 0,2 + 1 — А ≥ 0.

Если А ∈ (1; 3], есть 1 ответ между -1 и 1 для вспомогательной формулы. Значение большего корня:

t = \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4}

\sin x = \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4}

x= (-1)^{n+1} \arcsin \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4} + \pi n, n \ in Z

Если, - \frac {1}{8} < A \le 1  решений между — 1 и 1 будет два:

x= (-1)^{n+1} \arcsin \frac {-1 + \sqrt{1+8A}}{4} + \pi n, n \ in Z

Поделитесь в социальных сетях:
30 июня 2021, 09:54


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».