Первообразная функция и неопределенный интеграл / Блог / Справочник

Первообразная

Определение первообразной функции

Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х ∈ Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

f производная функции F
F первообразная для функции f

Свойство первообразных

Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Правила вычисления первообразных

Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x).
Постоянный множитель можно выносить за знак производной. Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x).
Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b) — первообразная для f(kx + b).

Запомни!

Любая функция F(x) = х² + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

Например:
F'(x) = (х² + 1)' = 2x = f(x);

f(x) = 2х , т.к. F'(x) = (х² – 1)' = 2x = f(x);

f(x) = 2х , т.к. F'(x) = (х² –3)' = 2x = f(x);

функция первообразной на графике

Связь между графиками функции и ее первообразной:

Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
Если f(x)=0, то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение:

Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

где

f(x) — называют подынтегральной функцией;
f(x) dx — называют подынтегральным выражением;
x — называют переменной интегрирования;
F(x) — одна из первообразных функции f(x);
С — произвольная постоянная.

Свойства неопределённого интеграла

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x).
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Если k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция f(x)	Первообразная F(x) + C	Неопределенные интегралы \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C	\int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C
f(x) = \frac { 1 } { x }	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e { ^x } dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac { a^x } { l na } + C	\int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x }	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C
f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x }	F(x) = \tg x + C	\int \frac { dx } { \cos { ^2 } x } = \tg x + C
f(x) = \sqrt { x }	F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } }	F(x) =2\sqrt { x } + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } }	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } }	F(x)=\arctg x + C	\int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } }	F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C	\int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } }	F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C	\int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C
f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 }	F(x)=\arctg + C	\int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0)	F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C	\int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \sin x }	F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C	\int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \cos x }	F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 } ) \rvert + C	\int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 } ) \rvert + C

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.

\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) — F(a)

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx

Смотри также: Основные формулы по математике

Первообразная функция и неопределенный интеграл