25.05.2018

Первообразная функция и неопределенный интеграл

Первообразная

Определение первообразной функции

  • Функцию у= F (x) называют первообразной для функции у=f (x) на заданном промежутке Х, если для всех х Х выполняется равенство: F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

  1. f производная функции F
  2. F первообразная для функции f

Свойство первообразных

  • Если F(x) — первообразная для функции f(x) на заданном промежутке, то функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, и все эти первообразные можно записать в виде F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Геометрическая интерпретация

  • Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

 

Правила вычисления первообразных

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если F(x) — первообразная для f(x), а G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная для f(x) + g(x).
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной. Если F(x) — первообразная для f(x), и k — постоянная, то k·F(x) — первообразная для k·f(x).
  3. Если F(x) — первообразная для f(x), и k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то 1/k · F(kx + b) — первообразная для f(kx + b).

 

Запомни!

Любая функция F(x) = х2 + С, где С — произвольная постоянная, и только такая функция, является первообразной для функции f(x) = 2х.

 

  • Например:

    F'(x) = (х2 + 1)' = 2x = f(x);

    f(x) = 2х , т.к. F'(x) = (х2 – 1)' = 2x = f(x);

    f(x) = 2х , т.к. F'(x) = (х2 –3)' = 2x = f(x);

функция первообразной на графике

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции f(x)>0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции f(x)<0 на промежутке, то график ее первообразной F(x) убывает на этом промежутке.
  3. Если f(x)=0, то график ее первообразной F(x) в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования.

Неопределенный интеграл

Определение:

  • Неопределённым интегралом от функции f(x) называется выражение F(x) + С, то есть совокупность всех первообразных данной функции f(x). Обозначается неопределённый интеграл так: \int f(x) dx = F(x) + C

где

  • f(x) — называют подынтегральной функцией;
  • f(x) dx — называют подынтегральным выражением;
  • x — называют переменной интегрирования;
  • F(x) — одна из первообразных функции f(x);
  • С — произвольная постоянная.

 

Свойства неопределённого интеграла

  1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: (\int f(x) dx)\prime= f(x).
  2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак интеграла: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
  3. Интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций:\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
  4. Если k, b — постоянные, причём k ≠ 0, то \int f(kx + b) dx = \frac { 1 } { k } \cdot F(kx + b) + C .

 

Таблица первообразных и неопределенных интегралов

Функция

f(x)

Первообразная

F(x) + C

Неопределенные интегралы

\int f(x) dx = F(x) + C

0 C \int 0 dx = C
f(x) = k F(x) = kx + C \int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1 F(x) = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C \int x { ^m } dx = \frac { x^ { m+1 } } { m+1 } + C
f(x) = \frac { 1 } { x } F(x) = l n \lvert x \rvert + C \int \frac { dx } { x } = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x F(x) = e^x + C \int e { ^x } dx = e^x + C
f(x) = a^x F(x) = \frac { a^x } { l na } + C \int a { ^x } dx = \frac { a^x } { l na } + C
f(x) = \sin x F(x) = -\cos x + C \int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x F(x) =\sin x + C \int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac { 1 } { \sin { ^2 } x } F(x) = -\ctg x + C \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = -\ctg x + C
f(x) = \frac { 1 } { \cos { ^2 } x } F(x) = \tg x + C \int \frac { dx } { \sin { ^2 } x } = \tg x + C
f(x) = \sqrt { x } F(x) =\frac { 2x \sqrt { x } } { 3 } + C  
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { x } } F(x) =2\sqrt { x } + C  
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1-x^2 } } F(x)=\arcsin x + C \int \frac { dx } { \sqrt { 1-x^2 } } =\arcsin x + C
f(x) =\frac { 1 } { \sqrt { 1+x^2 } } F(x)=\arctg x + C \int \frac { dx } { \sqrt { 1+x^2 } } =\arctg x + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2-x^2 } } F(x)=\arcsin \frac { x } { a } + C \int \frac { dx } { \sqrt { a^2-x^2 } } =\arcsin \frac { x } { a } + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { a^2+x^2 } } F(x)=\arctg \frac { x } { a } + C \int \frac { dx } { \sqrt { a^2+x^2 } } = \frac { 1 } { a } \arctg \frac { x } { a } + C
f(x) =\frac { 1 } { 1+x^2 } F(x)=\arctg + C \int \frac { dx } { 1+x^2 } =\arctg + C
f(x)=\frac { 1 } { \sqrt { x^2-a^2 } } (a \not= 0) F(x)=\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C \int \frac { dx } { \sqrt { x^2-a^2 } } =\frac { 1 } { 2a } l n \lvert \frac { x-a } { x+a } \rvert + C
f(x)=\tg x F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \sin x } F(x)= l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C \int \frac { dx } { \sin x } = l n \lvert \tg \frac { x } { 2 } \rvert + C
f(x)=\frac { 1 } { \cos x } F(x)= l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 } ) \rvert + C \int \frac { dx } { \cos x } = l n \lvert \tg (\frac { x } { 2 } +\frac { \pi } { 4 } ) \rvert + C

 


Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная.


\int_ { a } ^ { b } f(x) dx =F(x)|_ { a } ^ { b } = F(b) — F(a)

 

где F(x) - первообразная для f(x)

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f, осью Ox и прямыми x = a и x = b.

Площадь криволинейной трапеции находят по формуле Ньютона-Лейбница:

 

S= \int_ { a } ^ { b } f(x) dx

 

 

 

Смотри также: Основные формулы по математике

Комментарии

Для добавления комментариев необходимо авторизоваться.