Вход   →
Задание 14

Стереометрическая задача

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 2 балла

На решение отводится примерно 20 минут.

 

Чтобы решить задание 14 по математике профильного уровня нужно знать: 

  • планиметрию и стереометрию.
  • теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.  AC2+ BC= AB2

 

 

Формула вычисления расстояния:

  • от точки до плоскости — общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. Точка M (Mx, My, Mzd = \frac{|A*M_x + B*M_y + C*M_z + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
  •  между плоскостями d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2+ C^2}}
  • между двумя точками на плоскости AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}
  • между двумя точками в пространстве AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}

 

Формула вычисления угла:

  • между прямой и плоскостью  \sin φ = \frac{|A*l+ B*m + C*n|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2} + \sqrt{l^2+m^2+n^2}}

          где в пространстве заданы уравнение плоскости и направляющий вектор прямой L S = {l;m;n}

  • между плоскостями \cosα = \frac{|A_1*A_2 + B _1*B_2+C _1*C_2 |}{\sqrt{A_1^2 + B _1^2 + C _1^2 }* \sqrt{A_2^2 + B _2^2 + C_2^2 } }

Задачи для тренировки

  1.    Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 имеют длину 6. Точки M и N— середины рёбер AA1 и A1C1 соответственно.
     

    а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.
    б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  2. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C является основанием прямой треугольной  призмы ABCA1B1C1. Диагональ CA1 перпендикулярна диагонали AB1.

     

    а) Докажите, что ребро AA1 и сторона AC равны;

    б) Найдите расстояние между диагональю CA1 и диагональю AB1, если AC=6, BC=3.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  3. Равнобедренный треугольник, стороны которого равны 12, лежит в основании правильной треугольной призме ABCA1B1C1. Высота этой призмы равна 8. На BC1 находится точка K, являющаяся серединой стороны A1B1.

     

    а) Постройте сечение BCK.

    б) Найдите периметр сечения BCK

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  4. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что на ребре BC лежит точка K, причем она является серединой этого ребра. Длины рёбер: AB =4\sqrt{2} , AA= 4

     

    а) Приведите доказательство того, что B1C ⊥ C1K

    б) Определите угол между плоскостью ABB1A1 прямой C1K.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  5. Дана правильная треугольная пирамида ABCS. На ребре AB построена точка K, а на ребре BC –точка точка L. AK:BM = CL:LB = 1:2. На ребре AS построена точка T, а на ребре SC –точка точка R, причем AT = TS, SR = RC.

     

    а) Приведите доказательство того, что точки K, L, T, R образуют плоскость.

    б) Определите отношение объёмов многогранников, на которые эта плоскость делит пирамиду.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  6. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, длина ребер которой равна 4. На ребре AS построена точка P, которая является серединой этого ребра.

     

    а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку P и параллельной прямым SB и BC.

    б) Определите площадь сечения.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
Пройти тест

Еще нет аккаунта?

Пользователям Бингоскул доступна бесплатная подготовка к ЕГЭ по всем видам ФИПИ, просмотр решений и отслеживание статистики
Регистрация

Уже зарегистрированы?

Авторизуйтесь в своей учетной записи, чтобы получить доступ к расширенным возможностям функционала сайта
Вход

Вход в систему

Регистрация

Регистрируясь, я подтверждаю своё согласие с условиями пользовательского соглашения

Активация аккаунта

Спасибо за регистрацию
Мы отправили письмо на указанный электронный адрес.
Чтобы завершить регистрацию, проверьте почтовый ящик и перейдите по ссылке в письме.