Стереометрическая задача

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 2 балла

На решение отводится примерно 20 минут.

Чтобы решить задание 14 по математике профильного уровня нужно знать: 

  • планиметрию и стереометрию.
  • теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.  AC2+ BC= AB2

Формула вычисления расстояния:

  • от точки до плоскости — общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0. Точка M (Mx, My,Mz
  • d=\frac { ∣A*Mx+B*My+C*Mz+D∣ } { \sqrt { A2+B2+C2 }  }
  •  между плоскостями d = \frac { |D_2 - D_1| } { \sqrt { A^2 + B^2+ C^2 } } 
  • между двумя точками на плоскости AB = \sqrt { (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 } 
  • между двумя точками в пространстве AB = \sqrt { (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }  

Формула вычисления угла:

  • между прямой и плоскостью  \sin φ = \frac { |A*l+ B*m + C*n| } { \sqrt { A^2+B^2+C^2 }  * \sqrt { l^2+m^2+n^2 } }

          где в пространстве заданы уравнение плоскости и направляющий вектор прямой L S = {l;m;n}

  • между плоскостями \cosα = \frac { |A_1*A_2 + B _1*B_2+C _1*C_2 | } { \sqrt { A_1^2 + B _1^2 + C _1^2 }* \sqrt { A_2^2 + B _2^2 + C_2^2 } }

Задачи для тренировки

Задача №1

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 численно равны 12. На AA1 и CC1 отмечены точки K и E соответственно, причём AK = 4, CE = 2.

а) Докажите, что плоскость KEB1 делит фигуру на два равных по объёму многогранника.
б) Найдите объём тетраэдра KEBB1.

Задача №2

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Известно, что на ребре BC лежит точка K, причем она является серединой этого ребра. Длины рёбер: AB =4\sqrt{2} , AA= 4

а) Приведите доказательство того, что B1C ⊥ C1K
б) Определите угол между плоскостью ABB1A1 прямой C1K.

Задача №3

Дан правильный тетраэдр ABCD, в котором построены: точка K на ребре CS и точка O в плоскости ABC. Причем O является центром ABC и CK = KD.

а) Приведите доказательство того, что АВ⊥С D.
б) Определите градусную меру угла между DO и ВK.

Задача №4

Дан цилиндр. Образующая цилиндра перпендикулярна к плоскости основания. На окружности нижнего основания цилиндра лежат точки K и L, а на окружности верхнего основания — точки Q и P, причем так, что LQ является образующей, а KP пересекает центральную ось цилиндра.

а) Приведите доказательство того, что ∠ KLP = 90
б) Определите градусную меру угла между LQ и KP, если ML = 3, LQ=\sqrt{5}, а QP = 4.

Задача №5

В прямой треугольной призме АВСA1B1C1 известны длины ребер:  АС = 1, ВС = 2, АВ = \sqrt{5} , СС1 = 3.

а) Приведите доказательство того, что прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и A1B1C1 параллельна основанию призмы.
б) Определите градусную меру угла между плоскостями АВС1 и A1B1C1

Пройти тест

Начать