Вход   →

Задание 16 :: Математика (профиль)

Планиметрическая задача

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 3 балла

На решение отводится примерно 25 минут.

 

Чтобы решить задание 16 по математике профильного уровня нужно знать: 

  • Формула нахождения углов правильного n – угольника: α_n=\frac{180^{0}(n-2)}{n}
  • Формула нахождения длины стороны правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R: α=2R sin⁡\frac{180^{0}}{n}
  • Формула нахождения длины стороны правильного n – угольника, описанного около окружности радиуса r: α=2r tg \frac{180^{0}}{n}
  • В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800

           α + γ = β + δ =1800
    ac + bd = d1 d2 (теорема Птолемея), 
где a, b, c, d – стороны четырехугольника, d1, d2 – диагонали 
 

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
где p = \frac {1}{2} \cdot (a+b+c+d)

 

  • В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. 

a + с = b + d,   S = p ∙ r

  • Длина окружности: C=2πR=πD;
  • Длина дуги окружности: l=\frac {\pi Rn^0}{180^0} =Rα;
  • Площадь круга: Sкр=πR2=\frac{1}{4}πD2= \frac{1}{2}CR.

 

Площади фигур

  1. Параллелограмм     S=aha; S=ab sin⁡γ
  2. Треугольник              S=\frac{1}{2}ah_a; S=\frac{1}{2}ab \sin \gamma
  3. Трапеция                     S=\frac{a+d}{2}\cdot h
  4. Ромб                              S=\frac{1}{2} \cdot d_1d_2 ;d1,d— диагонали         

 

Дополнительные формулы в статье «Планиметрия»

Задачи для тренировки

  1. Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK  пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.

     

    а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
    б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  2. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C на гипотенузу опущена высота CH. Из точки H на катеты опущены перпендикуляры HM и HN соответственно на стороны AC и BC .

     

    а) Докажите, что точки A, B, M и N лежат на одной окружности.

    б) Найдите радиус этой окружности, если AB=15, CH=8.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  3. Возле параллелограмма ABCD построена окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекающая BC в точках B и M и пересекающая CD в точках N и D.

     

    а) Докажите, что отрезок AM равен отрезку AN.

    б) Найдите основание AD, если CM =5, DN = 4 и cos ∠BAD = 0,1


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  4. Дан остроугольный треугольник ABC, который вписан в который вписан в окружность с центром O. На продолжении отрезка AO построена точка P. Известно, что ∠BAC + ∠APC = 90°

     

    а) Приведите доказательство того, что вокруг четырёхугольника OBPC можно описать окружность.

    б) Найдите радиус окружности, в которую вписан четырёхугольник OBPC, если \sin BC=\frac{4}{6}, BC=40


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  5. В четырехугольник ABCD вписан четырехугольник OPQR так, что
    точки O, P, R, Q, делят стороны AB, BC, CD и AD соответственно пополам. RQ=3\sqrt{3}, OQ=6\sqrt{3}, \angle OQP=60^0.

     

    а) Приведите доказательство того, что отрезки PR и OQ, делят друг друга пополам.

    б) Определите площадь четырёхугольника ABCD.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  6. Равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC, вписан в окружность. Параллельно стороне AB, через точку C, провели прямую C. Через точку B провели касательную к окружности, которая пересекает прямую c в точке P.

     

    а) Приведите доказательство того, что BCP— равнобедренный треугольник.

    б) Определите \frac{S_{ABC}}{S_{BCP}}, если \cos BAC=\frac{7}{9}.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
Пройти тест

Еще нет аккаунта?

Пользователям Бингоскул доступна бесплатная подготовка к ЕГЭ по всем видам ФИПИ, просмотр решений и отслеживание статистики
Регистрация

Уже зарегистрированы?

Авторизуйтесь в своей учетной записи, чтобы получить доступ к расширенным возможностям функционала сайта
Вход

Вход в систему

Регистрация

Регистрируясь, я подтверждаю своё согласие с условиями пользовательского соглашения

Активация аккаунта

Спасибо за регистрацию
Мы отправили письмо на указанный электронный адрес.
Чтобы завершить регистрацию, проверьте почтовый ящик и перейдите по ссылке в письме.