Вход   →
Задание 18

Задача с параметром

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 4 балла

На решение отводится примерно 35 минут.

 

Чтобы решить задание 18 по математике профильного уровня нужно знать: 

  1. Задание 18 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:
    • функции, зависящие от параметра;
    • уравнения с параметрами;
    • неравенства с параметрами;
    • системы и неравенства с параметрами.
  2. Пусть задано уравнение f(x; a) = 0, которое следует решить относительно переменной х, а произвольное действительное число обозначено буквой а, то f(x; a) = 0 – это уравнение с параметром а.
    • Решить неравенство с параметром  - это значит исследовать каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра. 
    • Решить уравнение с параметром – это значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

 

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметрами — общий вид  ax = b,где a, b – параметры

 

Обратите внимание: для данного вида уравнения контрольным значением параметра является то значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

 

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

 

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

  1. Если а ≠ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение  .
  2. Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = b. В этом случает значение b = 0 является особым значением параметра b.
  3. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
  4. При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

 

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным

При решении данного типа уравнений следует дробное уравнение заменить целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. Далее следует решать уравнение по известному алгоритму, исключив посторонние корни, т. е. те числа, которые обращают общий знаменатель в нуль (решить уравнения относительно параметра). 

 

Показательные уравнения с параметрами

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) φ(х) (1), где а> 0, b> 0.

 

ОДЗ такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ(х). 

 

Для решения уравнения (1) нужно рассмотреть следующие случаи:

  1. При a = b = 1 решением уравнения (1) является область его допустимых значений D.
  2. При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
  3. При а ≠ 1, b = 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения f(х) = 0 на области допустимых значений D.
  4. При a = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = φ(х) на области D.
  5. При a ≠ b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) тождественно уравнению  на области D.

Задачи для тренировки

  1.    Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

     

    \begin{cases} (|x|-5)^2 + (y-4)^2=9, \\ (x+2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}

     

       имеет единственное решение.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  2. Найдите все значения параметра a, при которых система:

     

    \begin{cases} (xy^2-2xy-6y+12) \sqrt{(6-x)} \\ y = ax \end{cases}

     

    имеет ровно три различных решения.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  3. Найдите все значения параметра a, при которых: 

     

    5x^6+(6a-9x)^3+15x^2+12a=18x

     

    не имеет решений.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  4. Найдите все значения параметра a, при которых:

     

    \begin{cases} (x^{3}y-3y^3-y^4-3x^2y^2+9x^2y-9xy^2+3xy^3-3x^3)\sqrt{x+3} \\ a-x-y=0 \end{cases}

     

    имеет два различных решения.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  5. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 

     

    (2\cos x-4-a) \sin x-\sin 2 x+2=0

     

    имеет хотя бы один корень.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 

     

    |2x+\frac{a^2}{x}+1|+|2x+\frac{a^2}{x}-1|=2

     

    имеет хотя бы один корень.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  7. Найдите все значения параметра a, при которых среди значений функции

     

    y=\frac{3x^2-4x+a}{4+3x^2}=1

     

    есть ровно одно целое число.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  8. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

     

    x^2=|x-4+a|+|4-a+x|-(a-4)^2

     

    имеет единственный корень.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  9. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство

     

    |\frac{3x^2+3ax+3}{x^2+x+3}|<7

     

    Выполняется при всех x.

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  10. При каждом a решите систему уравнений

     

    \begin{cases}4x^2+12(x-y)+15=-3-4y^2 \\ 3a^2-2ax=2ay+75 \end{cases}

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  11. При каждом a решите систему уравнений

     

    \begin{cases}2x^2=-2y^2+a^2\\ 7a^2=xy-27a \end{cases}

    Ответ
    Проверить

    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.

Еще нет аккаунта?

Пользователям Бингоскул доступна бесплатная подготовка к ЕГЭ по всем видам ФИПИ, просмотр решений и отслеживание статистики
Регистрация

Уже зарегистрированы?

Авторизуйтесь в своей учетной записи, чтобы получить доступ к расширенным возможностям функционала сайта
Вход

Вход в систему

Регистрация

Регистрируясь, я подтверждаю своё согласие с условиями пользовательского соглашения

Активация аккаунта

Спасибо за регистрацию
Мы отправили письмо на указанный электронный адрес.
Чтобы завершить регистрацию, проверьте почтовый ящик и перейдите по ссылке в письме.