Задание 18. Задача с параметром
За правильное выполненное задание без ошибок получишь 4 балла.
На решение отводится примерно 35 минут.
Чтобы решить задание 18 по математике профильного уровня нужно знать:
- Задание 18 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:
- функции, зависящие от параметра;
- уравнения с параметрами;
- неравенства с параметрами;
- системы и неравенства с параметрами.
- Пусть задано уравнение f(x; a) = 0, которое следует решить относительно переменной х, а произвольное действительное число обозначено буквой а, то f(x; a) = 0 – это уравнение с параметром а.
- Решить неравенство с параметром - это значит исследовать каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра.
- Решить уравнение с параметром – это значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
Линейные уравнения с параметрами
Линейные уравнения с параметрами — общий вид ax = b,где a, b – параметры
Обратите внимание: для данного вида уравнения контрольным значением параметра является то значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
- Если а ≠ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение .
- Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = b. В этом случает значение b = 0 является особым значением параметра b.
- При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
- При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.
Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным
При решении данного типа уравнений следует дробное уравнение заменить целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. Далее следует решать уравнение по известному алгоритму, исключив посторонние корни, т. е. те числа, которые обращают общий знаменатель в нуль (решить уравнения относительно параметра).
Показательные уравнения с параметрами
Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (1), где а> 0, b> 0.
ОДЗ такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ(х).
Для решения уравнения (1) нужно рассмотреть следующие случаи:
- При a = b = 1 решением уравнения (1) является область его допустимых значений D.
- При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
- При а ≠ 1, b = 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения f(х) = 0 на области допустимых значений D.
- При a = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = φ(х) на области D.
- При a ≠ b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) тождественно уравнению на области D.
Задачи для тренировки
Найдите все значения параметра a, при которых:
125x^6+(6a-9x)^3+15x^2+18a=27x
не имеет решений.
Найдите все значения параметра a, при которых:
\begin{cases} (x^{3}y+3y^3-y^4-3x^2y^2+9x^2y-9xy^2+3xy^3-3x^3)\sqrt{x+3} = 0\\ a-x-y=0 \end{cases}
имеет два различных решения.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
(2\cos x-4-a) \sin x-\sin 2 x+2=0
имеет хотя бы один корень.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
x^2=|x-4+a|+|4-a+x|-(a-4)^2
имеет единственный корень.
При каждом a решите систему уравнений
\begin {cases} 4x^2+12(x-y)+15=-3-4y^2 \\ 3a^2-2ax=2ay+75 \end {cases}