Задача с параметром

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 4 балла.

На решение отводится примерно 35 минут.

Чтобы решить задание 18 по математике профильного уровня нужно знать:

  1. Задание 18 в ЕГЭ подразделяется на несколько видов:
    • функции, зависящие от параметра;
    • уравнения с параметрами;
    • неравенства с параметрами;
    • системы и неравенства с параметрами.
  2. Пусть задано уравнение f(x; a) = 0, которое следует решить относительно переменной х, а произвольное действительное число обозначено буквой а, то f(x; a) = 0 – это уравнение с параметром а.
    • Решить неравенство с параметром - это значит исследовать каким будет решение неравенства для всех возможных значений параметра.
    • Решить уравнение с параметром – это значит найти все значения параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Линейные уравнения с параметрами

Линейные уравнения с параметрами — общий вид ax = b,где a, b – параметры

Обратите внимание: для данного вида уравнения контрольным значением параметра является то значение, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

  1. Если а ≠ 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение .
  2. Если а = 0, то уравнение принимает вид 0х = b. В этом случает значение b = 0 является особым значением параметра b.
  3. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
  4. При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным

При решении данного типа уравнений следует дробное уравнение заменить целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. Далее следует решать уравнение по известному алгоритму, исключив посторонние корни, т. е. те числа, которые обращают общий знаменатель в нуль (решить уравнения относительно параметра).

Показательные уравнения с параметрами

Многие показательные уравнения с параметрами сводятся к элементарным показательным уравнениям вида а f (x) = b φ(х) (1), где а> 0, b> 0.

ОДЗ такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и φ(х).

Для решения уравнения (1) нужно рассмотреть следующие случаи:

  1. При a = b = 1 решением уравнения (1) является область его допустимых значений D.
  2. При а = 1, b ≠ 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения φ(х) = 0 на области допустимых значений D.
  3. При а ≠ 1, b = 1 решением уравнения (1) служит решение уравнения f(х) = 0 на области допустимых значений D.
  4. При a = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) равносильно уравнению f(x) = φ(х) на области D.
  5. При a ≠ b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) уравнение (1) тождественно уравнению на области D.

Задачи для тренировки

Задача №1

Найдите все значения параметра a, при которых: 

5x^6+(6a-9x)^3+15x^2+12a=18x

не имеет решений.

Задача №2

Найдите все значения параметра a, при которых:

\begin{cases} (x^{3}y-3y^3-y^4-3x^2y^2+9x^2y-9xy^2+3xy^3-3x^3)\sqrt{x+3} \\ a-x-y=0 \end{cases}

имеет два различных решения.

Задача №3

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 

(2\cos x-4-a) \sin x-\sin 2 x+2=0

имеет хотя бы один корень.

Задача №4

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

x^2=|x-4+a|+|4-a+x|-(a-4)^2

имеет единственный корень.

Задача №5

При каждом a решите систему уравнений

\begin {cases} 4x^2+12(x-y)+15=-3-4y^2 \\ 3a^2-2ax=2ay+75 \end {cases}

Пройти тест

Начать