Вход   →

Задание 19 :: Математика (профиль)

Числа и их свойства

За правильное выполненное задание  получишь 4 балла.

На решение отводится примерно 40 минут.

 

Чтобы решить задание 19 по математике профильного уровня нужно знать:

  1. Задание подразделяется на несколько видов:
    • числа и их свойства;
    • числовые наборы на карточках и досках;
    • последовательности и прогрессии;
    • сюжетные задачи
  2. Признаки делимости чисел.
  3. Уметь применять их для решения различных задач.

Задачи для тренировки

  1. В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

     

    а) Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 10 раз?

     

    б) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 7?

     

    в) Средний балл в школе № 1 уменьшился на 10%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  2.    На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.

     

    а) Сколько чисел написано на доске?

    б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

    в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  3. Дана арифметическая прогрессия, состоящая из n различных чисел, причем n ≥ 3 и n – натуральное число.

     

    а) Возможно ли, что сумма всех чисел прогрессии будет равна 20?

    б) Если сумма чисел прогрессии меньше 925, какое наибольшее значение принимает n?


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  4. Маше было предложено записать на листочке несколько разных натуральных чисел так, чтобы при умножении любой пары чисел из  записанных друг на друга, получалось число больше 43 и меньше 140.

     

    а) Может ли Маша записать 6 чисел, отвечающих условию?

    б) Какое максимальное количество чисел можно записать, выполнив условие?

    в) Определите наибольшее значение суммы чисел, если записано 4 числа.


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  5. Дана последовательность 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}…

     

    а) Докажите существование арифметической прогрессии из 5 членов составленной из членов данной последовательности?

     

    б) Возможно ли составить из членов данной последовательности арифметическую прогрессию, длина которой будет бесконечна?

     

    в) Возможно ли то, что прогрессия будет состоять из 3500 членов?


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
  6. Кот уронил настенные часы, да так, что числа на циферблате рассыпались. Маленький ребенок заинтересовался данным происшествием и расположил числа на циферблате (от 1 до 12), но в неизвестном порядке. Если для каждой из соседних пар найти наибольший общий делитель, возможны ли следующие ситуации?

     

    а) Может получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?

    б) Может ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?

    в) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?


    Решение
    Авторизуйтесь, чтобы увидеть решение.
Пройти тест

Еще нет аккаунта?

Пользователям Бингоскул доступна бесплатная подготовка к ЕГЭ по всем видам ФИПИ, просмотр решений и отслеживание статистики
Регистрация

Уже зарегистрированы?

Авторизуйтесь в своей учетной записи, чтобы получить доступ к расширенным возможностям функционала сайта
Вход

Вход в систему

Регистрация

Регистрируясь, я подтверждаю своё согласие с условиями пользовательского соглашения

Активация аккаунта

Спасибо за регистрацию
Мы отправили письмо на указанный электронный адрес.
Чтобы завершить регистрацию, проверьте почтовый ящик и перейдите по ссылке в письме.