Задание 7. Производная и первообразная
Если задание решено правильно, то получаешь 1 балл.
На решение отводится примерно 5 минут.
Чтобы решить задание 7 по математике профильного уровня необходимо знать:
- Задачи подразделяются на несколько видов:
- физический смысл производной.
- геометрический смысл производной и касательная;
- применение производной к исследованию функций;
- первообразная.
- Знания функции производной и первообразной.
- А в большинстве случаев просто определения понятий и понимания значений производной.
- Производная – скорость изменения функции. Производная положительна на промежутках, на которых функция возрастает и отрицательна на промежутках, на которых функция убывает.
- Точки экстремума, максимума и минимума. Точка экстремума – максимальное/минимальное значение функции на заданном множестве. Если достигается наибольшее значение, то точка экстремума носит название «точка максимума», если достигается наименьшее значение, то точка экстремума носит название «точка минимума».
- Первообразная. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f (x). Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.
- Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.
Задачи для тренировки
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9.
Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
На координатной прямой построен график функции y = F(x), которая является первообразной функции f(x), определённой на интервале (-10;10). Определите, сколько решений у уравнения f(x)=0 на отрезке [−6; 8].
На координатной плоскости построен график некоторой функции g(x) и прямая, являющаяся касательной к этому графику в точке x0. Выясните значение производной в точке касания x0.
На координатной плоскости построен график некоторой функции g(x), определенной на интервале (-10; 9). Выясните количество точек экстремума функции.
На координатной плоскости построен график y = f(x). По рисунку выясните разность F(8) — F(3), если F(x) – некоторая первообразная функции f(x).