Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно!
Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры
1306

Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры

Содержание:





В самом начале напомним, что в математике принято называть уравнением. Уравнение представляет собой равенство, содержащее одну или более неизвестных величин. Решить уравнение означает найти значение неизвестной величины (или нескольких неизвестных) таким образом, чтобы их подстановка в исходное выражение давала истинное математическое равенство. 

Биквадратные уравнения: решение уравнений, примеры

Далее подробно расскажем о биквадратных уравнениях и способах их решения. Небольшой урок по этой теме – основа, которая может оказаться неплохим подспорьем, в тот момент, когда настанет время сдавать тест по алгебре. Таким образом не приходя в школьный класс, вы сможете вполне уверенно находить решение любого биквадратного уравнения. 

Формула биквадратного уравнения

Степень всего уравнения определяется самой большой степенью неизвестной величины. Термин "биквадратное уравнение" означает, что переменная возведена в 4-ю степень, а само уравнение имеет вид:

                                                          ax4+bx2+c = 0, где

x – переменная,

a и b – числовые коэффициенты,

с – свободный член.

При этом коэффициент «a» не должен равняться нулю.



Решение биквадратных уравнений

Метод решения биквадратных уравнений довольно простой и заключается в следующем:
  • переменная во второй степени x2 заменяется другой переменной, которую обычно обозначают t, при этом должно выполняться неравенство t ≥ 0;

  • переменная t подставляется в уравнение взамен первичной переменной;

  • полученное квадратное уравнение вида at2+bt+c=0 решается любым обычным способом (например, через нахождение дискриминанта);

  • произвести подстановку корней квадратного уравнения в формулу замены переменной и найти корни исходного биквадратного уравнения.

Для полной ясности рассмотрим, как решается биквадратное уравнение на примерах.



Биквадратные уравнения: примеры для решения

Для начала приведем наиболее общий пример из программы по алгебре. Задание следующее: решить уравнение                

                                                             x4−5x2+4=0.

Сначала выполним замену переменной x2 = t и запишем новое квадратное уравнение:

                                                                t2−5t+4=0.

Находим дискриминант для квадратного уравнения по известной формуле:

D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 9.

Напомним о том, что в случае, когда дискриминант оказывается меньше нуля, то уравнение не будет иметь корней, а когда он равен нулю, то корень будет один.

Так как полученный дискриминант D>0, то уравнение будет иметь два корня, которые найдем по формулам: t1 = -b+D2a и -b-D2a.

t1 = -(-5)+92∙1 = 4   и     t2 = -(-5)-92∙1=1.

Теперь задача состоит в подстановке найденных корней в формулу, по которой мы ранее изменили переменную:

 x2 = 1      и     x2 = 4.

Корни этих уравнений очевидны, но все-таки найдем их традиционным для математики способом. Для этого занесем обе части полученных равенств под знак квадратного корня:

x2= 1, тогда x1 = 1 и x2 = –1.

x2= 4, тогда x3 = 2 и x4 = –2.

Ответ. Таким образом мы получили четыре искомых корня биквадратного уравнения 

x1 = 1, x2 = –1, x3 = 2, x4 = –2.

Теперь рассмотрим другой пример, в котором корни биквадратного уравнения будем находить без вычисления дискриминанта. Задание будет состоять в решении уравнения:

 –9x4+81x2=0.

В этом случае будет вполне логично вынести переменную x2 за скобки, тогда получим выражение: x2(–9x2+81) = 0.

Теперь можно приравнять к нулю каждый из сомножителей уравнения.

                  x2 = 0, соответственно один из корней нашего уравнения x1 = 0.

Второе равенство решаем следующим путем:

                 –9x2+81 = 0      

                       –9x2 = –81

                           x2 = 9.

Заносим под знак радикала обе части полученного равенства 

x2= 9, тогда x2 = 3 и x3 = –3.

Ответ. Получено три корня заданного биквадратного уравнения: x1 = 0, x2 = 3 и x3 = –3.

Таким образом на примерах из школьной программы мы продемонстрировали как решать биквадратные уравнения различными способами. Надеемся, что приведенная информация будет полезной при сдаче теста.

Поделитесь в социальных сетях:
28 января 2022, 14:48


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».
×
×