Пирамидой называется объемное тело с многоугольником в основании – трёх-, четырёхугольник и т.д. Боковые грани – треугольники, выходящие из одной точки – его вершины. Геометрические тела бывают трехгранными (тетраэдр), правильными, произвольными, усеченными.
Понятие
Пирамиды известны из уроков истории или научных фильмов благодаря обилию сооружений в их форме по всей планете, в первую очередь, в Египте. Усеченные встречаются в Южной Америке. Их вершина срезана плоскостью, которая расположена параллельно нижней поверхности, боковые грани представлены трапециями.Основание геометрического тела представлено правильным многоугольником, с расположенной над его центром вершиной. Свойства пирамиды:
- имеет равные боковые ребра с одинаковыми углами между ними и нижней поверхностью;
- боковые ребра – конгруэнтные равнобедренные трапеции;
- площадь боковых поверхностей является произведением боковой грани на половину суммы периметров обоих оснований.
Усеченная пирамида – часть геометрического тела, ограниченная нижней гранью и параллельной ей плоскостью сечения. Верхняя, отсеченная, часть образует подобную пирамиду – уменьшенную в n раз. Если основание усеченного геометрического тела – неправильный многоугольник, она называется неправильной. Обладает разными боковыми гранями – это трапеции.
Правильная усеченная пирамида получается из правильного геометрического тела. Имеет равные боковые ребра и апофемы. Свойства:
- в сечении образуется подобный основанию многоугольник, он становится верхней гранью;
- площади оснований относятся как квадраты их отдаленности от изначальной вершины тела (до усечения).
Объем усеченной пирамиды
Разберемся, как найти объем усеченной пирамиды – ее вместительность. Указывает на количество кубиков с длиной стороны равной единице, которые поместятся в нем.Формула объема усеченной пирамиды:
- h – высота;
- S1 и S2 – площадь параллельных поверхностей.
В зависимости от формы нижней поверхности, формула объема усеченной пирамиды (четырехугольной или треугольной) остается неизменной. Меняются только способы вычисления площадей верхнего и нижнего многоугольников:
- Прямоугольник или квадрат: S1 = a1 * b1, S2 = a2 * b2.
- Параллелограмм: S1 = a1 * h1, S2 = a2 * h2.
- Треугольник – площадь определяется как половина произведения длины треугольника на опущенную на него высоту.
Также можно воспользоваться формулой Герона или иной в зависимости от исходных данных.
Рассмотрим, как найти объем усеченной пирамиды с квадратом в основании на примере. Известно, что:
- h = 10 см;
- a = 8, b = 6 см – стороны нижней и верхней граней.
, здесь:
S1 = a * a = a2, S2 = b* b = b2 – стороны квадрата одинаковы.
Сложность задачи вычисления площади усеченной пирамиды может заключаться в определении площадей ее оснований, особенно если они имеют нестандартную форму (пятиугольник). Иногда в задаче предоставляются косвенные данные, например, диагонали прямоугольника, на основе которых придется отыскать площадь либо длину его сторон.
Как вы считаете, материал был полезен?