Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно!
Что являет собою формула объема усеченной пирамиды четырехугольной?
861

Что являет собою формула объема усеченной пирамиды четырехугольной?

Содержание:





Пирамидой называется объемное тело с многоугольником в основании – трёх-, четырёхугольник и т.д. Боковые грани – треугольники, выходящие из одной точки – его вершины. Геометрические тела бывают трехгранными (тетраэдр), правильными, произвольными, усеченными.

Понятие

Пирамиды известны из уроков истории или научных фильмов благодаря обилию сооружений в их форме по всей планете, в первую очередь, в Египте. Усеченные встречаются в Южной Америке. Их вершина срезана плоскостью, которая расположена параллельно нижней поверхности, боковые грани представлены трапециями.

Основание геометрического тела представлено правильным многоугольником, с расположенной над его центром вершиной. Свойства пирамиды:

  • имеет равные боковые ребра с одинаковыми углами между ними и нижней поверхностью;

  • боковые ребра – конгруэнтные равнобедренные трапеции;

  • площадь боковых поверхностей является произведением боковой грани на половину суммы периметров обоих оснований.

Усеченная пирамида – часть геометрического тела, ограниченная нижней гранью и параллельной ей плоскостью сечения. Верхняя, отсеченная, часть образует подобную пирамиду – уменьшенную в n раз. Если основание усеченного геометрического тела – неправильный многоугольник, она называется неправильной. Обладает разными боковыми гранями – это трапеции.

Правильная усеченная пирамида получается из правильного геометрического тела. Имеет равные боковые ребра и апофемы. Свойства:

  • в сечении образуется подобный основанию многоугольник, он становится верхней гранью;

  • площади оснований относятся как квадраты их отдаленности от изначальной вершины тела (до усечения).

площади оснований относятся как квадраты их отдаленности от изначальной вершины тела (до усечения).



Объем усеченной пирамиды

Разберемся, как найти объем усеченной пирамиды – ее вместительность. Указывает на количество кубиков с длиной стороны равной единице, которые поместятся в нем.

Формула объема усеченной пирамиды:

V= 13*h*(S1+ S1S2+S2):

 

 

  • h – высота;
  • S1 и S2 – площадь параллельных поверхностей.

V= 13*h*(S1+ S1S2+S2):

В зависимости от формы нижней поверхности, формула объема усеченной пирамиды (четырехугольной или треугольной) остается неизменной. Меняются только способы вычисления площадей верхнего и нижнего многоугольников:

  • Прямоугольник или квадрат: S1 = a1 * b1, S2 = a2 * b2.

Прямоугольник или квадрат: S1 = a1 * b1, S2 = a2 * b2.


  • Параллелограмм: S1 = a1 * h1, S2 = a2 * h2.

Параллелограмм: S1 = a1 * h1, S2 = a2 * h2.

  • Треугольник – площадь определяется как половина произведения длины треугольника на опущенную на него высоту.

S= 1/2*h*a.

Треугольник – площадь определяется как половина произведения длины треугольника на опущенную на него высоту. S= 12*h*a.

Также можно воспользоваться формулой Герона или иной в зависимости от исходных данных.

Рассмотрим, как найти объем усеченной пирамиды с квадратом в основании на примере. Известно, что:

  • h = 10 см;

  • a = 8, b = 6 см – стороны нижней и верхней граней.

V= 13*h*(S1+ S1S2+S2), здесь:

S1 = a * a = a2, S2 = b* b = b2 – стороны квадрата одинаковы.

V = 13*h*(a2+ a2b2+b2)=13*10*(82+ 8262+ 62)=13*10*(64+ 64*36+36)=  13*10*(100+ 2304) = 13*10*100+48= 13*10* 148= 13*1480493,33 см3.

Сложность задачи вычисления площади усеченной пирамиды может заключаться в определении площадей ее оснований, особенно если они имеют нестандартную форму (пятиугольник). Иногда в задаче предоставляются косвенные данные, например, диагонали прямоугольника, на основе которых придется отыскать площадь либо длину его сторон.

Поделитесь в социальных сетях:
29 октября 2021, 23:21


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».
×
×