Угол сектора круга или центральный угол – это угол, образованный двумя лучами, выходящими из центра круга. Соответственно, сектор круга – это его часть, которая заключена между двумя лучами с началом в центре круга и дугой, проходящей между точками пересечения лучей с линией окружности. На приведенном ниже рисунке изображен круг, буквами R обозначены два луча, которые выходят из его центра О под углом α, участок окружности АВ – это дуга, длина которой равна L, а часть круга, ограниченная точками О, А и В – сектор. Отрезки ОА и ОВ называют радиусами.
Как вычислить угол сектора круга
Задание заключается в нахождении угла сектора, когда известны площадь сектора и радиус окружности.
Задача. Дана площадь сектора, которая составляет 78 см2, а радиус сектора окружности равен 8 см. Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, следует воспользоваться простой формулой, которая известна из геометрии. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π:
S = πR2.
Сектор представляет собой не что иное, как часть круга, ограниченную определенным центральным углом, поэтому его площадь при использовании градусной меры вычисляют по формуле:
S_α = \frac { \pi R^2α } { 360 }
Из представленной формулы можно без труда найти угол:
α = \frac { 360 * S_α } { \pi R^2 } = \frac { 360 * 78 } { 3,14 * 8^2 } ≈ 140^0
Как найти площадь сектора
Задача. Требуется найти площадь сектора круга, который ограничен дугой длиной 9 см. Площадь круга составляет 360 см2.
Зная площадь круга, путем преобразования известной формулы можем вычислить его радиус:
R = \sqrt { \frac { S } { \ pi } } = \sqrt { \frac { 360 } { 3,14 } } = 10,7 см.
Центральный угол сектора определим по формуле:
α = \frac { L } { R } = \frac { 9 } { 10,7 } = 0,841 рад.
Далее можем воспользоваться формулой для определения площади сектора круга из предыдущей задачи:
S_α = \frac { \pi R^2α } { 360 }
Но с учетом того, что мы применяем радианную меру углов, формулу потребуется незначительно видоизменить. Безусловно, можно выполнить перевод радианов в градусы, но мы будем пользоваться радианами как более точной мерой.
Зная, что полная окружность это 2 рад, можем записать следующее:
S_α = \frac { \pi R^2α } { 2 \pi } = \frac { R^2α } { 2 }= \frac { 10,7^2 * 0,841 } { 2 } = 48,14 см ^ 2.
Заметим, что начиная со второго действия эту задачу можно решить другим, более простым способом. По сути дела, сектор представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основанием является дуга окружности, а радиус – сторонами и одновременно высотой. Как известно, площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту. Используя эту формулу, проверим наши вычисления:
S_α = \frac { LR } { 2 } = \frac { 9 * 10,7 } { 2 } = 48,15 см.
Как можно заметить, мы получили практически одинаковые результаты, которые отличаются лишь вторым знаком после запятой. Это вызвано тем, что мы использовали округленное значение числа .
Как вы считаете, материал был полезен?