Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно!
Как найти угол сектора круга с учетом радиуса и длины дуги окружности?
172

Как найти угол сектора круга с учетом радиуса и длины дуги окружности?

Содержание:





Угол сектора круга или центральный угол – это угол, образованный двумя лучами, выходящими из центра круга. Соответственно, сектор круга – это его часть, которая заключена между двумя лучами с началом в центре круга и дугой, проходящей между точками пересечения лучей с линией окружности. На приведенном ниже рисунке изображен круг, буквами R обозначены два луча, которые выходят из его центра О под углом α, участок окружности АВ – это дуга, длина которой равна L, а часть круга, ограниченная точками О, А и В – сектор. Отрезки ОА и ОВ называют радиусами.

Как найти угол сектора

Как вычислить угол сектора круга

Задание заключается в нахождении угла сектора, когда известны площадь сектора и радиус окружности. 

Задача. Дана площадь сектора, которая составляет 78 см2, а радиус сектора окружности равен 8 см. Для того, чтобы найти ответ на поставленный вопрос, следует воспользоваться простой формулой, которая известна из геометрии. Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π:

S = πR2.

Сектор представляет собой не что иное, как часть круга, ограниченную определенным центральным углом, поэтому его площадь при использовании градусной меры вычисляют по формуле:

S_α = \frac { \pi R^2α } { 360 } 

Из представленной формулы можно без труда найти угол:

α = \frac { 360 * S_α } { \pi R^2 } = \frac { 360 * 78 } { 3,14 * 8^2 } ≈ 140^0 



Как найти площадь сектора

Задача. Требуется найти площадь сектора круга, который ограничен дугой длиной 9 см. Площадь круга составляет 360 см2.

Зная площадь круга, путем преобразования известной формулы можем вычислить его радиус:

R = \sqrt { \frac { S } { \ pi } } = \sqrt { \frac { 360 } { 3,14 } } = 10,7  см.

Центральный угол сектора определим по формуле:

α =  \frac { L } { R } = \frac { 9 } { 10,7 } = 0,841  рад.

Далее можем воспользоваться формулой для определения площади сектора круга из предыдущей задачи:

S_α = \frac { \pi R^2α } { 360 } 

Но с учетом того, что мы применяем радианную меру углов, формулу потребуется незначительно видоизменить. Безусловно, можно выполнить перевод радианов в градусы, но мы будем пользоваться радианами как более точной мерой. 

Зная, что полная окружность это 2   рад, можем записать следующее:

S_α = \frac { \pi R^2α } { 2 \pi } = \frac { R^2α } { 2 }= \frac { 10,7^2 * 0,841 } { 2 } =  48,14  см ^ 2.

Заметим, что начиная со второго действия эту задачу можно решить другим, более простым способом. По сути дела, сектор представляет собой равнобедренный треугольник, у которого основанием является дуга окружности, а радиус – сторонами и одновременно высотой. Как известно, площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту. Используя эту формулу, проверим наши вычисления:

S_α = \frac { LR } { 2 } = \frac { 9 * 10,7 } { 2 } =  48,15  см.

Как можно заметить, мы получили практически одинаковые результаты, которые отличаются лишь вторым знаком после запятой. Это вызвано тем, что мы использовали округленное значение числа 

Поделитесь в социальных сетях:
30 сентября 2022, 10:23


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».
×
×