Цилиндром называется геометрическое тело, образованное путем вращения прямоугольника вокруг его стороны (преимущественно большей). Круги, лежащие в основании, конгруэнтные – соразмерные, равные.
Поверхность тела имеет криволинейную форму – цилиндрическую. Рассмотрим, как рассчитать объем цилиндра: полного и усеченного при наличии разных исходных данных. Развертка геометрического тела представлена:
- прямоугольником с шириной, равной высоте геометрического тела (H);
- длиной, равной образующей или радиусу нижней поверхности: c = πD = 2πr.
Объем цилиндра
Объемом называется характеристика ограниченного геометрическим телом пространства. Показывает, сколько места занимает тело или сколько жидкости внутрь него можно залить. Близкие по значению слова – емкость, вместимость.
Существует несколько формул, позволяющих найти объем цилиндра; какая подойдет, зависит от исходной информации.
V = πr2h, здесь:
- π – число «Пи», равное приблизительно 3,1415;
- r – радиус круга;
- h – высота призмы или длина стороны прямоугольника, вокруг которой он вращался для образования цилиндра.
V=\pi \frac{d^2}{4} или \frac{1}{4} \pi d^2h, где:
- d – диаметр геометрического тела.
Рассмотрим, как вычислить объем цилиндра на практике, если известны его:
- радиус: r = 5 см;
- высота: h = 13 см.
Подставляем значения в формулу:
V = πr2h.
V = π * 52 * 13 = π * 25 * 13 = 325 π.
Если нужно реальное число, вместо π в формулу подставим его округленное значение 3,1415.
V = 325 * 3,1415 ≈ 1020,98 ≈ 1021 см3.
В случае, когда дан диаметр круга, его придется разделить на два для получения радиуса: r= \frac{1}{2}d или разделить на четыре после поднесения к квадрату; r= (\frac{1}{2}d) =\frac{1}{4}d^2.
Формула для вычисления объема усеченного цилиндра
Усеченным называется цилиндр, часть которого отрезана плоскостью, пролегающей не параллельно нижней плоскости.
Формула объема усеченного цилиндра следующая:
V= πr2h, где:
h=\frac{h_1+h_2}{2},
здесь h1 b h2 – наименьшая и наибольшая высоты геометрического тела.
После подстановки значений получится выражение:
V= \pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2}.
Рассмотрим на примере.
Дано тело с габаритами:
- h1 = 24 см;
- h2 = 16 см;
- d = 10 см.
Вариантов решения два.
Первый: воспользуемся формулой V= \pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2} . Для этого определим радиус нижней плоскости.
r = \frac{1}{2}d= \frac{1}{2}10=5 см.
V=\pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2} = \pi *5^2* \frac{24+16}{2}= 25 \pi * 20 = 500 \pi \approx 1570,75 см3.
Второе решение – подставим диаметр в формулу:
V = \pi \frac{d^2}{4}* \frac{h_1+h_2}{2} = \pi *\frac {10^2}{4}* \frac {24+16}{2}= \pi * \frac{100}{4}* \frac{40}{2} = 500 \pi \approx 1570,75 см3.
Значения совпали.
Зная высоту и радиус или диаметр основания тела, его вместительность высчитывается в несколько действий.
Как вы считаете, материал был полезен?