Как рассчитать, вычислить объём цилиндра? Что нужно для этого?

Цилиндром называется геометрическое тело, образованное путем вращения прямоугольника вокруг его стороны (преимущественно большей). Круги, лежащие в основании, конгруэнтные – соразмерные, равные.

Поверхность тела имеет криволинейную форму – цилиндрическую. Рассмотрим, как рассчитать объем цилиндра: полного и усеченного при наличии разных исходных данных. Развертка геометрического тела представлена:

• прямоугольником с шириной, равной высоте геометрического тела (H);
• длиной, равной образующей или радиусу нижней поверхности: c = πD = 2πr.

Объем цилиндра

Объемом называется характеристика ограниченного геометрическим телом пространства. Показывает, сколько места занимает тело или сколько жидкости внутрь него можно залить. Близкие по значению слова – емкость, вместимость.

Существует несколько формул, позволяющих найти объем цилиндра; какая подойдет, зависит от исходной информации.

V = πr²h, здесь:

• π – число «Пи», равное приблизительно 3,1415;
• r – радиус круга;
• h – высота призмы или длина стороны прямоугольника, вокруг которой он вращался для образования цилиндра.

V=\pi \frac{d^2}{4} или  \frac{1}{4} \pi d^2h, где:

• d – диаметр геометрического тела.

Рассмотрим, как вычислить объем цилиндра на практике, если известны его:

• радиус: r = 5 см;
• высота: h = 13 см.

Подставляем значения в формулу:

V = πr²h.

V = π * 5² * 13 = π * 25 * 13 = 325 π.

Если нужно реальное число, вместо π в формулу подставим его округленное значение 3,1415.

V = 325 * 3,1415 ≈ 1020,98 ≈ 1021 см³.

В случае, когда дан диаметр круга, его придется разделить на два для получения радиуса: r= \frac{1}{2}d или разделить на четыре после поднесения к квадрату; r= (\frac{1}{2}d) =\frac{1}{4}d^2.

Формула для вычисления объема усеченного цилиндра

Усеченным называется цилиндр, часть которого отрезана плоскостью, пролегающей не параллельно нижней плоскости.

Формула объема усеченного цилиндра следующая: 

V= πr²h, где:

h=\frac{h_1+h_2}{2},

здесь h₁ b h₂ – наименьшая и наибольшая высоты геометрического тела.

После подстановки значений получится выражение:

V= \pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2}.

Рассмотрим на примере.

Дано тело с габаритами:

• h₁ = 24 см;
• h₂ = 16 см;
• d = 10 см.

Вариантов решения два.

Первый: воспользуемся формулой V= \pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2} . Для этого определим радиус нижней плоскости.

r = \frac{1}{2}d= \frac{1}{2}10=5 см.
V=\pi r^2 *\frac{h_1+h_2}{2} =  \pi *5^2* \frac{24+16}{2}= 25 \pi * 20 = 500 \pi \approx 1570,75 см³. 

Второе решение – подставим диаметр в формулу:

V = \pi \frac{d^2}{4}* \frac{h_1+h_2}{2} =  \pi *\frac {10^2}{4}* \frac {24+16}{2}=  \pi * \frac{100}{4}* \frac{40}{2} = 500 \pi \approx 1570,75 см³. 

Значения совпали.

Зная высоту и радиус или диаметр основания тела, его вместительность высчитывается в несколько действий.