Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно!
Как выглядит формула нахождения объёма конуса? Объяснение формулы
617

Как выглядит формула нахождения объёма конуса? Объяснение формулы

Содержание:





Конус – геометрическое тело, образуемое вследствие вращения равнобедренного треугольника вокруг катета. Объём конуса – это пространство, которое занимает тело, или количество вещества, способное поместиться в нём. Зависит от его высоты и радиуса круга, лежащего в основании – нижней поверхности.

Теоретическая выкладка

Кроме вращения треугольника с прямым углом, конус образуется следующим методом. Над центром круга на определённом расстоянии, называемом высотой, располагается точка – вершина. Если её соединить со всеми точками, принадлежащими окружности, получается конус. Проведённые с вершины к окружности отрезки называются образующими, их сумма – боковая поверхность геометрической фигуры. Полная поверхность – сумма боковой и основания.

Существуют следующие виды конусов:

  • параболический, овальный, гиперболический – в основании лежат соответствующие геометрические фигуры;

  • наклонный (косой) – вершина смещена относительно центра нижней плоскости;

  • вращения – вследствие вращения прямоугольного треугольника вокруг одной из сторон, образующей угол 90°;

  • усечённый конический – вершина обрезана плоскостью, проходящей параллельно нижней поверхности;

  • равносторонний – высота и диаметр нижней плоскости равны.

Свойства:

  • центр тяжести находится на точке, лежащей на ¼ высоты от низа, что приходится учитывать при проектировании архитектурных сооружений, разнообразных изделий;

  • параллельная основанию плоскость пересекает тело по кругу, боковую поверхность – по окружности;

  • отрезок, проходящий от вершины к центру нижней плоскости, перпендикулярен её поверхности.


Формула объёма конуса

Для определения занимаемого прямым геометрическим телом пространства необходимо знать пару его физических параметров. Среди них:
  • высота или длина оси;

  • радиус, диаметр либо площадь круга (что-либо одно).

В общем случае формула объема конуса имеет вид:

V = 13ShЗдесь:

  • S – площадь нижней поверхности;
  • h – высота.

В зависимости от известных данных, для решения задач придётся пользоваться теоремой Пифагора, формулой вычисления площади круга. Для определения объёма усечённого конуса, необходимо знать радиусы (диаметры или площади) оснований. Подробнее о процессе вычисления читайте в материале по ссылке.



Задача

Вычислить занимаемое конусом пространство, если длина оси его образования равна 8 см, а расстояние от центра до лежащей в основании окружности – 3 см.

Воспользуемся классической формулой нахождения объема конуса:

V = 13Sоснh.

Нам известна высота или длина оси, вокруг которой вращался прямоугольный треугольник, и радиус нижней поверхности. Площадь равна:

Sосн = πr2.

Подставляем выражение в формулу, получаем:

V = 13 r2h= 13π*32*8= 723π=24π ≈ 75,4 см3.

Определить площадь правильного конуса с образующей 12 см и высотой 9 см.

Определить площадь правильного конуса с образующей 12 см и высотой 9 см.

V = 13Sоснh = 13 πr2h.

Высота, из условий задачи, равна 9 см. Гипотенуза l = 12 см. Найдём радиус нижней плоскости из формулы Пифагора:

r = l2-h2 = 122- 92= 144-81= 63 ≈ 7,94 см.

Все данные известны, подставляем:

V = 13 π632*9 = 189 π ≈ 593,74 см2.

Поделитесь в социальных сетях:
15 октября 2021, 13:52


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».
×
×