Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами.
Вписанный
Вписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы.
У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов?
Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике.
Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых.
Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным.
Задача
Известны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся.
Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке.
180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший.
В какой четырехугольник можно вписать окружность
Описанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется.
Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему.
В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом.
Задача
Стороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см.
Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны:
- AB – x;
- AD – 2x;
- ВС – 3x;
- BC – ?
AB + ВС = AD + BC.
Подставим значения.
x + 3x = 2x + BC.
Упростим.
4x = 2x + BC.
BC = 2x.
Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32.
Отсюда 8x = 32, x = 4 см.
Как вы считаете, материал был полезен?