Наклонная призма: список видов, описание формул, примеров и решений

Призмой зовётся объёмный многогранник, состоящий из двух одинаковых основ – многоугольников, расположенных в перпендикулярных плоскостях. Её боковые грани – прямоугольники или параллелограммы, имеют с ними общие грани. Наклонная призма – геометрическое тело с рёбрами, расположенными к основаниям под углом, отличным от прямого. Её верхняя и нижняя плоскости остаются параллельными.

Разновидности

В основании наклонной призмы может лежать многоугольник с любым количеством рёбер: треугольник, пятиугольник. В зависимости от основания, тело носит соответствующее название, например, квадратная наклонная призма: нижняя и верхняя поверхности – равные квадраты, боковые сформированы параллелепипедами, расположенными к основаниям под отличным от прямого углом.

Полная поверхность – сумма боковых поверхностей, нижней и верхней. Боковая – представлена параллелограммами. Расстояние между плоскостями оснований зовётся высотой геометрического тела.

Наклонная трехгранная или треугольная призма представлена пятигранником с равными основаниями в виде треугольников, которые смещены друг относительно друга. Боковые ребра наклонены к основанию.

Объём вычисляется по классической формуле:

V = S_осн * h, где:

h – высота.

Полная площадь: S = S_бок + 2S_осн или P_оснh + 2S_осн.

Сечения

Сечением тела называется фигура, представленная всеми его точками, расположенными на плоскости α. Перпендикулярное сечение наклонной призмы пересекает её боковые рёбра под углом 90°.

Особенности явления:

• Перпендикулярные сечения геометрического тела равны один другому.


• Сечение будет перпендикулярным боковым ребрам.

Если под углом 90° к боковым граням проходит плоскость сечения, геометрическая фигура называется усечённой. Периметр перпендикулярного сечения такой призмы равен:

S = Pl, где:

• P – периметр фигуры сечения;


• l – боковое ребро, например, dD.

Задача

Перпендикулярным сечением наклонной четырехугольной призмы является ромб с диагоналями BD = 24 см, AC = 18 см. Боковая поверхность – 780 см2. Вычислить боковое ребро геометрической фигуры.

Начнём с рассмотрения перпендикулярного сечения. Стороной призмы является высота пересекающей плоскости. Сторона ромба вычисляется благодаря прямоугольному треугольнику AOB, где катеты равны половине диагонали (особенность рассматриваемого многоугольника). 

Половины диагоналей OB и AO равны 9 и 12 см.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Ответ: 15 см.

Дана наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. Катеты равны 7 и 24 см. Вершина A₁ находится на одинаковом удалении от вершин треугольника. Вычислить высоту призмы, где ребро AA₁ находится под углом 45° к основанию.

Проекция точки A1 на сторону BC △АВС представлена точкой O – это центр окружности, описанной вокруг нижнего основания △АВС. Отсюда следует: O делит гипотенузу ВС на равные отрезки BO = OC. Причём BC ⊥ А₁О – высота геометрического тела.

ΔА₁ОА является равнобедренным прямоугольным, а отрезки А₁О и АО равны.

Воспользуемся теоремой Пифагора.

Расстояния от вершин до точки O равны 25 : 2 = 12,5 см.