Октаэдр и площадь полной его поверхности: описание, формулы, примеры

Существует несколько способов определить площадь поверхности октаэдра. Он представляет собой один из пяти правильных многоугольников или так называемых Платоновых тел. Имеет восемь одинаковых граней (поверхностей) в виде равносторонних треугольников, к каждой из его вершин прилагается по четыре грани. Рассмотрим, что собой представляет тело, где встречается в природе, как вычисляется его площадь и объём. 

Что такое октаэдр

Геометрическое тело выглядит как две соединённые в основания правильные четырёхгранные пирамиды. Все вершины геометрического тела являются вершинами образующих поверхности треугольников. Состоит октаэдр из:

• 6 вершин, из которых выходит по 4 грани;
• 12 рёбер;
• 8 поверхностей.

 

Свойства октаэдра

Геометрическое тело обладает рядом интересных особенностей:

1. Вписывается в тетраэдр, при этом:

• 4 из 8 граней совмещаются с поверхностями тетраэдра;
• 6 вершин совмещается с центрами рёбер тетраэдра.

2. Октаэдр вписывается в куб, при этом все его вершины располагаются в центре граней куба.

3. В тело вписывается куб, вершины которого находятся в центрах граней куба.

4. Симметрия куба и вписанного (описанного) октаэдра совпадают.

5. Двойственен кубу.

6. Является полным усечением тетраэдра.

7. Имеет равные ребра и диагонали.

8. Состоит из равносторонних треугольников.

9. Диагонали тела взаимоперпендикулярны, в точке пересечения делятся на равные отрезки.

10. Октаэдр симметричен, причём 3 оси пролегают через противоположные вершины, 6 – через центры ребер. 

11. Центр симметрии тела расположен в точке пересечения диагоналей.

12. Ребра равны по длине, поверхности – по площади.

Математические характеристики тела

Зная длину ребра, легко высчитать объём и площадь многоугольника.

Как вычислить площадь поверхности октаэдра

Площадь октаэдра равна сумме площадей составляющих его треугольников:

1. S = 8 * S_треуг

Здесь S_треуг – площадь треугольника.

После подстановки значения получится требуемый результат.

Если известна длина ребра, придётся вычислить площадь треугольников.

S_треуг = \frac{\sqrt 3}{4}a^2.

Подставляем значение в первое выражение:

S = 8 * S_треуг = 8 \frac{\sqrt 3}{4}a^2.

Упрощаем: после сокращения дроби на четыре получается формула площади поверхности октаэдра:

2. S = 8 * S_треуг =  2 \sqrt {3}a^2.

Существует ещё один способ проведения вычислений. Он менее точный чем предыдущие, однако позволяет обойтись без калькулятора. При приблизительном подсчёте 2 \sqrt {3} равняется 3,464 или 3,46.

3. S = 3,464 a^2.

Здесь a – длина стороны треугольника (равны).

Для примера, имеется фигура октаэдр с длиной стороны 5 см.

Подставим значения:

S=2\sqrt {3}a^2=2*\sqrt {3}*5^2=2*\sqrt {3}*25=50\sqrt {3} \approx 86,6  см.

Как вычислить объём правильного октаэдра

Объём показывает размер внутреннего пространства геометрического тела. Объем правильного октаэдра вычисляется, если знаете длину ребра геометрического тела, по формуле:

V= \frac{\sqrt 2}{3}a^3

После проведения приблизительных расчётов \frac{\sqrt 2}{3} \approx 0,47  формула принимает следующий вид:

V=0,47*a^3

Рассчитаем двумя методами на примере правильного многоугольника с гранью, равной 5 см:

V= \frac{\sqrt 2}{3}a^3=\frac{\sqrt 2}{3}5^3= \frac{\sqrt 2}{3}*125 \approx 58,93 

V= 0,47 * a^3 = 0,47*125 \approx 58,93

Значения совпали, во втором случае нужно выполнять гораздо меньше операций. Подходит он только, если не требуется исключительная точность – при округлении до 4-5 знаков после запятой точность снизится.

Развёртка

Октаэдр, как большинство гомерических тел, имеет развёртку поверхности – это плоская фигура, полученная путём совмещения поверхности модели с одной плоскостью без пересечения либо наложения граней друг на друга.

Рисунок развёртки октаэдра.

В природе насчитывается 11 разновидностей развёртки октаэдра, позволяющих создать его модель из бумаги или картона. Наиболее распространённая выглядит как восемь одинаковых треугольников. Шесть из них размещено в ряд, к третьему и четвёртому основаниям прилегает ещё по одному, их вершины направлены в противоположные стороны. 

Октаэдр в природе

Слово «октаэдр» происходит из греческого: «окта» – восемь, «эдра» – грань, основание. Геометрическое тело широко распространено в микромире. Необработанный (естественный) алмаз, минералы перовскит (титанат кальция), оливин, флюорит, шпинель и прочие имеют форму, схожую с октаэдром. Выращенные кристаллы медного купороса принимают соответствующую форму.