Определение перпендикулярных прямых, их свойства, характеристика

В геометрии существует понятие параллельных и перпендикулярных прямых. Ко вторым относится особый вид пересечения простейших геометрических фигур. Рассмотрим, какие прямые называются перпендикулярными. После теоретической выкладки материала научим правильно чертить такие чертежи при помощи угольника. Также разберёмся, что такое перпендикуляр к прямой, его свойства, обозначение.

Перпендикулярные прямые: определение, свойства

Рассмотрим пару линий (a, b) или отрезков (AB, CD), пересекающихся в точке O. В результате образуется четыре угла. Если один из них прямой, остальные также равняются 90°. Обозначаются отрезки символом ⟂: AB ⟂ CD. Точка O является общей для обеих геометрических фигур, местом их пересечения.

Теперь вы понимаете, что значит перпендикулярные прямые.
Дана линия a (AB) и не лежащая на ней точка C. Соединяющий их отрезок CD называется перпендикулярным, если отрезок CD образует с AB прямые углы. Точка D – основание перпендикуляра.

Способы построения

Рассмотрим способы, как быстро построить перпендикулярные прямые. Проще всего это делается на тетрадном листике в клеточку посредством линейки и простого карандаша: по клеточкам проводится одна линия, затем – пересекающая её под углом 90°.Ошибиться невозможно.

Второй способ сложнее. Дана линия m с лежащей на ней точкой M: M ∈ m. Построить отрезок PQ, проходящий через точку M и пересекающий m под прямым углом.

• Произвольно чертится линия (желательно горизонтально) m, на неё наносится точка M в произвольном месте.

• Игла циркуля устанавливается в точку M, на лучах m ставится пара засечек на одинаковом расстоянии от M: это отрезки AM и MB, равные по длине.

• Игла циркуля устанавливается последовательно в точки A и B, строятся дуги, приблизительно заканчивающиеся в точках, из которых к M будет опускаться перпендикуляр. Важно, чтобы части окружности пересеклись под и над m в точках P, Q.

• Через центр M проводится отрезок PQ, пересекающий прямую под углом 90°.

Теперь разберёмся, как доказать, что отрезки (прямые) перпендикулярны. Для этого рассмотрим треугольник APB или AQB (из условий задачи они одинаковые).

Две стороны простейшего многоугольника построены по радиусам одинаковых кругов, значит, они равны по длине – получаем равнобедренный треугольник, где AP = PB. Из условий задачи AM = BM, значит MP – медиана равнобедренного треугольника (исходя из определения этого термина). Отрезок PM – высота геометрической фигуры, она перпендикулярна основанию: PM ⟂ AB, что требовалось доказать.

Третий способ.

Проводим линию m и не лежащую на ней точку M. Рисуем окружность с центром M, пересекающую m в паре точек: A, B. 

Чертим окружности с центрами в A и B, пересекающие M. Симметричную ей относительно прямой m точку обозначим N. Соединим их отрезком MN.

Докажем перпендикулярность MN линии m.

 

В треугольниках ANM с BNM равны стороны: AN = NB = AM = NB, AB – общая. Если три стороны треугольников равны, значит геометрические фигуры одинаковые: ∠АМС = ∠ВМС. Отрезки MC и CN – биссектрисы треугольников, где AB – основание. Далее, исходя из свойств равнобедренного треугольника, MC и CN – высоты геометрической фигуры, они перпендикулярны основанию. Получается, AB ⟂ MN.

Задача

Доказать, что из точки возможно провести только один перпендикуляр к отрезку.
Решение.
Отметим на прямой две свободные точки A и B. В треугольнике CAB из определения геометрической фигуры, минимум один из углов A либо B – острый, предположим, это A.
Относительно луча AB отложим угол EAB, равный BAC. На луче AE отложим отрезок, равный по длине AC. Соединим противоположные точки, образовав отрезок CE. Треугольник CAD идентичен EAD, исходя из первого признака равенства треугольников. Значит, углы EDA и CDA – одинаковы по величине. К тому же они смежные, значит – прямые. Получается, CE пересекает AB под углом 90°.

Мы доказали, что CE ⟂ a.
Последний шаг: покажем, что из точки C к прямой a нельзя провести более одного перпендикуляра.
Предположим: из точки С на прямую a возможно опустить второй перпендикуляр CD1. Тогда получим △CDD1 уже с парой прямых углов, что невозможно – у треугольника более одного прямого угла быть не может. Значит, из точки C нельзя опустить более одного перпендикуляра.
Исходя из рассмотренного материала, следует закономерное свойство двух прямых a и b, перпендикулярных к третьей c: между собой они параллельны: a||b.

Перпендикулярные отрезки – это отрезки, пересекающиеся под углом 90°.