Основные свойства умножения вектора на число: описание, примеры

Изучающие математические науки и физику, начиная со старших классов, знакомятся с понятием «вектор». Это направленный отрезок, отличающийся от обычного (ненаправленного) рядом характеристик. Рассмотрим основные свойства умножения вектора на число. Ознакомимся с необходимыми для работы понятиями, приведём примеры задач.

Теория

Вектором называется отрезок, один конец которого указывает на направление, то есть это —  ограниченное двумя точками пространство на прямой с указанным направлением. Является основой линейной алгебры. Векторы бывают коллинеарными – параллельными, причем могут лежать на одной прямой, неколлинеарными и нулевыми – начало совпадает с окончанием. Кроме направленности характеризуются длиной или модулем, который обозначается как |BC|.

Векторы применяются в геометрии, компьютерной графике, например, для создания карт освещения, прокладывания траекторий движения. Позволяют быстро вычислять площади геометрических фигур и объёмы тел. В физике векторами являются величины, имеющие направление: сила, ускорение. Обозначаются буквами с чёрточками, например, \overline{a}, \overline{b}, (\overline{c};\overline{d}) или \overline{A}B.

Умножение вектора на число

С направленным отрезком можно совершать ряд математических действий и преобразований. К таким относятся упрощение, суммирование, произведение. Сформулируем основные свойства умножения вектора на число, покажем, как их умножать в разнообразных ситуациях.

Произведением направленного отрезка ( \overline{c}; \overline{d}) на x называется величина ( \overline{x}c; \overline{x}d)=x*( \overline{c}; \overline{d}) .

При умножении пары чисел на вектор работают знакомые с начальных классов правила:

• ( a + b ) * \overline{x} = a \overline{x} + b \overline{x} ;


• ( \overline{a} + \overline{b} ) * x = \overline{a}x + \overline{b}x ; .

Особенности и закономерности произведения чисел и направленных отрезков:

1. При работе с отрицательным числом направление отрезка меняется на противоположное.


2. При константе между -1 и 1 модуль уменьшается.


3. Когда постоянная равна нулю, получим нулевой модуль.


4. Для умножения \overline{p} (x, y, z) на величину a находят произведение каждой координаты: \overline{p}1 (ax, ay, az).

Становится понятно, что произведением ненулевого вектора на число называется коллинеарный вектор. В геометрии:

• с тем же направлением, что исходный, если умножаем на положительное число;


• противоположно направленный, когда действие осуществляется с отрицательным числом,


• длина которого равна произведению модуля изначального отрезка на модуль числа.

В алгебре следствием произведения будет тот же вектор, сдвинутый в координатной сетке на указанное число в направлении, которое зависит от его знака.

Физический смысл преобразования – инверсия направления величины (действия силы) в зависимости от знака числа (если отрицательное, меняется на противоположное) с изменением её значения в n (модуль) раз.

Модули можно возводить в степень, перемножать между собой.