| Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно
Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
268

Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение

Содержание:





В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.

GeekBrains

Особенности явления

Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется вписанной в него, а сам 3-угольник – описанным. Перпендикуляры EO, DO, FO, берущие начало в центре сторон треугольника, пересекаются в общей точке. Последняя находится на одинаковом удалении от них. Отсюда следует, что перпендикуляры имеют одинаковую длину EO = DO = FO. 

Окружность, касающаяся всех сторон треугольника, называется вписанной в него, а сам 3-угольник – описанным.

Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.

Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.

Из вышесказанного следуют свойства:

  • В треугольник вписывается лишь один круг.
  • Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
  • Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.


Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник

Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr2

r= 36 a, где:

  • a – длина стороны геометрической фигуры;

  • r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.

После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:

S = (a36)2.

В задачах могут давать длину сторон, тогда S= r* a + b + c2.
Выражение a + b + c2 для равностороннего треугольника можно записать в виде 3a2, так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны a + b + c2 = 3a2 – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.

Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.



Задачи

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник, если известна его сторона: a = 12 см.

Найдите площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник, если известна его сторона: a = 12 см.

В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.

S = (a36)2 =  (1236)2 =  (1236)2=  144*336 = 12 π см2=37,7 см2.

Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см. 

S= r* 3p2 Для вычислений необходимо найти радиус r.

Известно, что он определяется по формуле: 

r= (p-a)(p-a)(p-a)p.

После преобразований выражение упрощается до r=a23 .

p = 12P – полупериметр.

Начинаем проводить вычисления.

P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.

p = 30/2 = 15 см.

r= (15-10) (15-10) (15-10)15 = 5*5*515= 8,333 = 2,89 см.

Проверим по упрощённой формуле:

r=a23 = 102*3,4641=2,89 см.

Всё известно, финальный этап.

S= r* 3p2 = 2,89 * 3*102 = 2,89 * 15 = 43,35 см2.

Поделитесь в социальных сетях:
14 октября 2021, 20:39


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».