Площади геометрических фигур: список формул, описание, примеры

Для решения практических задач иногда приходится вычислять площади геометрических фигур. Они, например, нужны при измерениях земельных участков, поверхностей при проведении ремонтных и строительных работ. Рассмотрим, что такое площадь геометрической фигуры, по каким формулам она определяется в разных ситуациях.

Площади всех фигур в геометрии

Площадью называют численную характеристику поверхности, которая показывает сколько квадратов с размером 1 × 1 занимает объект на плоскости. Изменяется в квадратных единицах – метрах, сантиметрах, километрах и т. д.

Для нарисованного по клеточкам четырёхугольника с прямыми углами это делается простым подсчётом с перемножением полученных значений. Для квадрата на примере это 100 см2: 10 × 10 см.

В математике насчитывается менее десятка фигур – замкнутых множеств, сформированных точками, площадь которых можно вычислить. Общий принцип расчётов сформирован благодаря интегральному счислению. 

Формулы площадей фигур по геометрии

Начнём из самого интересного множества.

Круг

Равна произведению радиуса в квадрате на π.

S= πr².

Если известен диаметр – четверти его квадрата на π.

S = \pi \frac {d^2}{4}, потому что d = \frac {1}{2}r, d^2 = \frac {1}{4}r^2.

Кольцо круга: разница между площадями кольца и круга.

S =π (R² – r²).

Четырёхугольники

Рассмотрим, как в геометрии найти все площади фигур, имеющих по четыре угла.

Квадрат: размеры сторон перемножаются.

S = a * a = a².

Также площадь вычисляется как половина квадрата диагонали.

S = \frac {1}{2}d^2 .

Прямоугольник: произведение соседних сторон – длины на ширину.

S = ab.

Параллелограмм: умножение длины стороны на опущенную к ней высоту.

S = ah_a либо S = bh_b.

Вторая формула применяется, когда известны длины сторон с углом между ними – произведение сторон на sin угла, под которым они пересекаются.

S = ab*sin α.

Ромб – параллелограмм с равными сторонами. Если известна сторона, площадь ромба вычисляется как произведение sin угла между сторонами на их длину в квадрате.

S = a²*sin α.

Если в задании даны длины диагоналей, площадь определяется как половина их произведения.

S = \frac {1}{2}d^1d^2 .

При наличии одной диагонали (полудиагонали) и стороны, неизвестные данные вычисляются по теореме Пифагора.

Трапеция: полусумма длин верхнего и нижнего оснований на высоту геометрической фигуры.

S = \frac {a+b}{2}h .

Когда даны средняя линия и высота, площадь находят путём перемножения их значений.

S = ch.

Выпуклый четырёхугольник: половина длины диагоналей, перемноженная на sin угла, который они образуют.

S = d₁d₂ * sinα.

Вписанный в окружность 4-угольник: площадь вычисляется как корень квадратный из произведения разности периметра на длину каждой стороны.

S = \sqrt { (p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d) } .

В случае с прямоугольником, квадратом формула упрощается.

Треугольники

Способов расчёта занимаемого треугольником места на плоскости множество. Это произведение:

Половины стороны на проведённую к ней высоту.

S = ½ ah_a.

Пары любых сторон на sin образуемого ими угла:

S = ab * sin γ.

Квадрата полупериметра геометрической фигуры на тангенсы половин углов.

S = p² * tgα/2 * tgβ/2 * tgγ/2.

Корню квадратному произведения разницы полупериметров и сторон.

S = \sqrt { (p-a)*(p-b)*(p-c) } .

Квадрата длины стороны на синусы смежных углов, разделённому на удвоенный синус третьего, противоположного ей угла.

S = \frac { a^2 \sin \beta `* \sin \sin \gamma } { 2 \sin \sin \alpha}  .

При известной высоте: отношению её произведения на синус угла, откуда та опущена, к двойному произведению синусов остальных углов.

S = \frac { h^2 \sin \sin \alpha } { 2 \sin \beta *\sin \sin \gamma }  .

Для прямоугольного 3-угольника, по сути, половины прямоугольника, применимо выражение:

S = \frac { ab }{ 2 }.

Многоугольники

Для фигур с пятью и большим числом сторон применяют правило: площадь вычисляется путём умножения количества углов на квадрат длины стороны и тангенс отношения числа Пи к количеству сторон.

S = \frac { n }{ 4 } a^2 \ctg ( \frac { \pi }{ n }) .