Параллелепипед – многогранник, состоящий из шести четырехугольных поверхностей с попарно параллельными сторонами. Различают несколько видов параллелепипедов в зависимости от вида четырехугольников, лежащих в их основе. Рассмотрим, какими они бывают, чем отличаются. Научимся находить площадь и объем прямоугольного и наклонного параллелепипедов по известным формулам.
Прямоугольный параллелепипед
Кубоидом или прямоугольным называется шестигранный многогранник с прямоугольниками в основании. Его противоположные поверхности взаимно параллельны, а сходящиеся в одной вершине – перпендикулярны. Ребра, выходящие из одной вершины, называются измерениями.
Свойства геометрического тела:
- Диагонали многогранника в месте пересечения делятся на равные отрезки.
- Место пересечения диагоналей – центр симметрии геометрического тела.
- Размеры противоположных граней равны.
- Квадрат диагонали равен сумме квадратов измерений.
Рассмотрим формулы объема прямоугольного параллелепипеда и его площади.
Как найти площадь параллелепипеда
Площадью называется численная характеристика плоской фигуры, показывающая, сколько квадратов со стороной, равной единице, поместятся на её поверхности. Вычисляется как сумма площадей шести поверхностей в виде прямоугольников.
Формула площади:
S = 2 (ab + bc + ac),
где: ab, bc и ac – площади поверхностей.
Так как стороны парные, получившуюся сумму умножают на два.
Для примера, имеем тело с размерами:
a = 3, b = 4 и c = 5 см.
Полная площадь поверхности равна:
S = 2 * (3*4 + 4*5 + 5*3) = 2 * (12 + 20 +15) = 2 * (47) = 94 см.
Объем параллелепипеда
Объемом называется численная характеристика тела, отражающая занимаемое им пространство. Определяется как количество кубов со стороной единица, которое поместится в многоугольнике.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = a * b * c, где
a, b, c – размеры измерений, выходящих из одной точки, или длина, ширина и высота многогранника.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда по приведенной формуле, в нее подставляют размеры граней многоугольника, например:
- высота – 4 см;
- ширина – 3 см;
- глубина – 5 см.
V = 4* 3 * 5 = 60 см3.
Измеряется в кубических единицах – сантиметрах, метрах и т.д. либо литрах: 1 литр равен 1 дециметру кубическому.
Физический смысл объема прост:
- по высоте в параллелепипед поместится 4 куба с гранью 1 см;
- по ширине – 3 штук;
- по длине – 5 кубиков.
Вторая формула понадобится, когда в исходных данных есть площадь одной из поверхностей (Sосн) и длина третьей грани (h) или высота.
V = Sосн* h, здесь:
Смысл вычислений остается прежним – перемножить площадь поверхности на длину третьей стороны тела.
Объем наклонного параллелепипеда
К наклонным параллелепипедам относят четырехугольные призмы с параллелограммом в основании, боковые грани которого относительно него расположены под углом, отличным от 90°.
Площадь и объем наклонного параллелепипеда вычисляются по тем формулам, что и прямоугольного: V = Sосн * h или V = a * b * c.
Площадь определяются иначе, хоть и равна сумме поверхностей боковых граней и оснований.
S = S1 + S2 +Sосн. Боковые поверхности – прямоугольники, их площади S1 b S2 равны производным ширины на длину прямоугольников, которыми они представлены: a*c и a*b. Размеры оснований – параллелограммов – вычисляются так: Sосн = b * h.
S = 2ac + 2ab + 2 bh.
Мы рассмотрели способы, как найти объем основных параллелепипедов по разным формулам в зависимости от исходных данных. В сложных задачах придется применять иные геометрические и тригонометрические формулы для определения требуемых данных.
Как вы считаете, материал был полезен?