К параллелограммам относят четырёхугольники с попарно параллельными сторонами. Частными случаями таких геометрических фигур являются квадраты, ромбы и прямоугольники. В публикации рассмотрим, что такое высота параллелограмма, как её провести и вычислить через стороны, диагонали и углы. Рассмотрим признаки и свойства фигуры.
Особенности геометрической фигуры
Рассматриваемый 4-угольник обладает рядом присущих только ему свойств. У него одинаковые противоположные стороны и углы. Сумма последних, примыкающих к одной стороне, равняется 180°. Место пересечения диагоналей делит их пополам, является центром симметрии параллелограмма и точкой пересечения средних линий. Также диагональ образует два одинаковых треугольника.Определение высоты параллелограмма
Высота параллелограмма – это перпендикуляр – линия, опущенная из одной стороны на другую, противоположную или параллельную ей. Обозначится двумя буквами, например, DE, либо одной – h.
Перпендикуляр проводится не из каждой точки геометрической фигуры, ведь иногда находится за её пределами. Тогда высоту (BE) опускают на продолжение стороны (CE).
Как провести высоту в параллелограмме
Для построения высоты одна сторона угольника ставится на основание, перпендикулярная ей пересекает противоположную в месте, где будет проводиться перпендикуляр. Точки, принадлежащие параллелограмму, соединяются.
В итоге получается высота FG.
Также она может проводиться с одной боковой стороны на вторую.
Все формулы высоты параллелограмма
Рассмотрим способы вычислить длину перпендикуляра четырёхугольника.Как найти высоту параллелограмма, зная его стороны
Высота – отношение площади геометрической фигуры к длине стороны, из которой опущен перпендикуляр:
h = S / a,
- S = площадь фигуры;
- a – размер основания, на который опущен перпендикуляр.
Вторая формула вычисления высоты параллелограмма: через стороны и угол. Равняется произведению стороны на угол, который она образовывает с основанием, куда опущена высота.
h = b * sin α.
Узнать высоту параллелограмма можно, зная один из катетов и гипотенузу треугольника, который она образовывает, по теореме Пифагора. Равняется квадратному корню разности квадратов боковой стороны и отрезка, отсекающего высотой от основания – катета прямоугольного треугольника:
h = \sqrt { b^2 - AD^2 }.
Она же применяется, когда даны или можно вычислить диагональ правильного четырёхугольника – гипотенузу треугольника, который образуется благодаря высоте, и его катет. Равняется корню квадратному из разности возведённых в квадрат диагонали и отрезка между основанием высоты и диагональю.
h = \sqrt { d^2 - ED^2 }.
Существует более сложная формула, позволяющая найти одну высоту параллелограмма через другую и стороны. Обратно пропорциональное отношение одной высоты ко второй равно соотношению длин оснований:
\frac { a } { b } = \frac { 1 } { h_a} : \frac { 1 } { h_b }.
Задача
Дан параллелограмм с высотой BE, проведённой из тупого угла 4-угольника. Она делит основание на равные отрезки. Острый угол между ней и стороной равен 30°, а диагональ, проведённая между вершинами тупых углов – 10 см. Вычислить h геометрической фигуры и градусную меру ∠ABD.
Начнём из рассмотрения получившихся треугольников: ABE, BED – в соответствии с первым признаком их равенства, эти 3-угольники равны между собой: имеют равные катеты AE = ED и углы BEA = BED = 90°. Отсюда следует, что AB = BD. Получим равнобедренный треугольник BDA с равными 30° углами при основании: BAD = BDA.
Расположенный накрест угол при параллельных отрезках DA с CB тоже равняется 30°.
Присмотримся к треугольнику ABE. Сумма углов равна 180°. Если один угол прямой, второй – 30°, значит третий – ABE – находится по формуле: ABE = 80 – 90 – 30 = 60°. Он такой, как DBE = 60°.
∠ABD = ∠ABE + ∠DBE = 60 = 60 = 120°.
∠CDB = ∠ABD = 120° ведь он внутренний накрест лежащий.
Для нахождения высоты параллелограмма подойдёт формула:
EB / DB = cos (EBD), градусная мера EBD = 60°.
EB / DB = cos (60) = ½.
DB из условий задачи равняется 10 см. Подставим в формулу.
EB / 10 = ½.
EB = 10 * ½ = 5 (см).
Ответ: ∠ABD, EB = 5 (см).
Как вы считаете, материал был полезен?