| Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно
Равнобедренная трапеция: формула, признаки, свойства, характеристика
376

Равнобедренная трапеция: формула, признаки, свойства, характеристика

Содержание:





В геометрии существуют десятки многоугольников с собственными названиями, характеристиками, свойствами. Одним из интереснейших четырёхугольников считается трапеция, имеющая одинаковые боковые стороны. Рассмотрим, что собой представляет равнобедренная трапеция, её особенности, свойства, признаки. Научимся проводить её расчёты: площадь, среднюю линию, радиусы описанной окружности.

TutorOnline RU

Определение

К трапециям относятся выпуклые 4-угольники, чьи противоположные стороны не пересекаются. Равнобедренная трапеция – это частный случай рассматриваемого многоугольника, который обладает осью симметрии, что пролегает через середины верхней и нижней сторон. Пара её сторон не пересекается, боковые – равные по длине. Смежные углы при суммировании дают 180°.

Под описание подпадает и параллелограмм с одинаковыми диагоналями. В отличие от него у рассматриваемого 4-угольника боковые стороны не являются параллельными. 

Диагонали относятся как: AE= DEEB= ADBC.

Иногда прямоугольник с квадратом причисляют к частным случаям равнобедренных трапеций, хотя под определение попадают частично.

Встречаются четырёхугольники, называемые трёхсторонними или триравнобедренными – верхняя сторона равная по длине боковым. Их получают посредством сечения четырёх последовательных вершин многоугольника минимум с пятью сторонами. 

Основаниями четырёхугольника называют параллельные стороны, непараллельные – боковыми. Перпендикуляр, проводимый между параллельными сторонами, зовётся высотой геометрической фигуры; отрезок, что соединяет центры боковых сторон, именуют средней линией. Последняя разделяет геометрическую фигуру на две подобные. 



Свойства равнобедренной трапеции

Рассматриваемый многоугольник обладает рядом особенностей. К признакам равнобокой трапеции относят:
  • Соединяющий середины параллельных сторон геометрической фигуры отрезок будет центром симметрии трапеции – разделяет четырёхугольник на два одинаковых, отраженных зеркально.

  • Опущенный из короткого основания перпендикуляр – высота рассматриваемого многоугольника. Она разделяет нижнее основание на части. Большая равна половине суммы длин оснований, меньшая – их полуразности.

  • Вокруг геометрической фигуры описывается круг.

К свойствам диагоналей равнобедренной трапеции относятся:

  • Когда диагонали пересекаются под углом 90°, высота геометрической фигуры равняется полусумме параллельных сторон.

  • Диагонали одинаковы, пересекаются в точке, принадлежащей оси симметрии.

  • Если в рассматриваемый четырёхугольник вписывается окружность, значит, его боковые стороны равны средней линии.

  • Площадь 4-угольника с перпендикулярными диагоналями равняется высоте, поднесённой к квадрату.

  • Когда в геометрическую фигуру вписывается окружность, её высота равняется корню квадратному произведения оснований.

  • Сумма квадратов диагоналей равняется удвоенному произведению протяженностей оснований трапеции плюс сумма квадратов (удвоенному квадрату) боковых сторон.

  • Ось симметрии – проведённая между серединами непересекающихся сторон высота.

  • Высота, проведённая из верхнего основания, разделяет нижнее на части так: длина большей равняется полусумме оснований, меньшей – половине разности их длин.

Диагонали относятся как:

AE= DEEB= ADBC.

Свойства равнобедренной трапеции

Получается: равнобокая трапеция – это равнодиагональный четырёхугольник.

Известно, что углы при основаниях любой равнобедренной трапеции обладают интересными свойствами:

  • перекрёстные углы попарно равны;

  • сумма величин лежащих один напротив одного углов составляет 180°;

  • углы при нижнем (длинном) основании острые, при верхнем (коротком) – тупые.

Исходя из описанных свойств, существует множество способов расчёта рассматриваемого четырёхугольника.



Формулы равнобедренной трапеции

Рассмотрим распространённые выражения для вычислений равнобочной трапеции: её площади, высоты, диагоналей.

Площадь равняется одной второй произведения высоты геометрической фигуры на полусумму длин оснований.

S = 12BC+AD*EF.

Формулы равнобедренной трапеции

Если высота неизвестна, но есть боковые стороны – c, прибегают к формуле Брахмагупты:

S = (s-a)(s-b)(s-c)2, здесь:

s – половина периметра 4-угольника: s = 1/2 (a + b + 2c).

Выражение напоминает упрощённую, благодаря равности боковых сторон, формулу Герона.

Третья формула:

S = a+b44c2-a-b2.

Радиус описанной окружности лежит на оси симметрии, вычисляется по формуле:

R = cab+ c24c2-a-b2.

 Диагонали вычисляются по указанной ниже формуле.

d1=d2= h2+ m2, где:

  • h – высота четырёхугольника;
  • m – длина средней линии.

d1=d2= h2+ m2, где:

Перпендикуляр OF, проведённый из точки, где пересекаются диагонали, к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
OF= AD*EFAD+BC.

OF= AD*EFAD+BC.



Задача

Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Доказать, что GH || AD.

Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Доказать, что GH || AD.

Исходя из условий задачи, перед нами равнобедренная трапеция, где GH – средняя линия. Докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB с CD пополам, о чём сказано в условии, значит GH || BC || AD.

Поделитесь в социальных сетях:
27 октября 2021, 21:17


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».