В геометрии существуют десятки многоугольников с собственными названиями, характеристиками, свойствами. Одним из интереснейших четырёхугольников считается трапеция, имеющая одинаковые боковые стороны. Рассмотрим, что собой представляет равнобедренная трапеция, её особенности, свойства, признаки. Научимся проводить её расчёты: площадь, среднюю линию, радиусы описанной окружности.
Определение
К трапециям относятся выпуклые 4-угольники, чьи противоположные стороны не пересекаются. Равнобедренная трапеция – это частный случай рассматриваемого многоугольника, который обладает осью симметрии, что пролегает через середины верхней и нижней сторон. Пара её сторон не пересекается, боковые – равные по длине. Смежные углы при суммировании дают 180°.Под описание подпадает и параллелограмм с одинаковыми диагоналями. В отличие от него у рассматриваемого 4-угольника боковые стороны не являются параллельными.
Иногда прямоугольник с квадратом причисляют к частным случаям равнобедренных трапеций, хотя под определение попадают частично.
Встречаются четырёхугольники, называемые трёхсторонними или триравнобедренными – верхняя сторона равная по длине боковым. Их получают посредством сечения четырёх последовательных вершин многоугольника минимум с пятью сторонами.
Основаниями четырёхугольника называют параллельные стороны, непараллельные – боковыми. Перпендикуляр, проводимый между параллельными сторонами, зовётся высотой геометрической фигуры; отрезок, что соединяет центры боковых сторон, именуют средней линией. Последняя разделяет геометрическую фигуру на две подобные.
Свойства равнобедренной трапеции
Рассматриваемый многоугольник обладает рядом особенностей. К признакам равнобокой трапеции относят:- Соединяющий середины параллельных сторон геометрической фигуры отрезок будет центром симметрии трапеции – разделяет четырёхугольник на два одинаковых, отраженных зеркально.
- Опущенный из короткого основания перпендикуляр – высота рассматриваемого многоугольника. Она разделяет нижнее основание на части. Большая равна половине суммы длин оснований, меньшая – их полуразности.
- Вокруг геометрической фигуры описывается круг.
К свойствам диагоналей равнобедренной трапеции относятся:
- Когда диагонали пересекаются под углом 90°, высота геометрической фигуры равняется полусумме параллельных сторон.
- Диагонали одинаковы, пересекаются в точке, принадлежащей оси симметрии.
- Если в рассматриваемый четырёхугольник вписывается окружность, значит, его боковые стороны равны средней линии.
- Площадь 4-угольника с перпендикулярными диагоналями равняется высоте, поднесённой к квадрату.
- Когда в геометрическую фигуру вписывается окружность, её высота равняется корню квадратному произведения оснований.
- Сумма квадратов диагоналей равняется удвоенному произведению протяженностей оснований трапеции плюс сумма квадратов (удвоенному квадрату) боковых сторон.
- Ось симметрии – проведённая между серединами непересекающихся сторон высота.
- Высота, проведённая из верхнего основания, разделяет нижнее на части так: длина большей равняется полусумме оснований, меньшей – половине разности их длин.
Диагонали относятся как:
.
Получается: равнобокая трапеция – это равнодиагональный четырёхугольник.
Известно, что углы при основаниях любой равнобедренной трапеции обладают интересными свойствами:
- перекрёстные углы попарно равны;
- сумма величин лежащих один напротив одного углов составляет 180°;
- углы при нижнем (длинном) основании острые, при верхнем (коротком) – тупые.
Исходя из описанных свойств, существует множество способов расчёта рассматриваемого четырёхугольника.
Формулы равнобедренной трапеции
Рассмотрим распространённые выражения для вычислений равнобочной трапеции: её площади, высоты, диагоналей.Площадь равняется одной второй произведения высоты геометрической фигуры на полусумму длин оснований.
Если высота неизвестна, но есть боковые стороны – c, прибегают к формуле Брахмагупты:
, здесь:
s – половина периметра 4-угольника:
Выражение напоминает упрощённую, благодаря равности боковых сторон, формулу Герона.
Третья формула:
Радиус описанной окружности лежит на оси симметрии, вычисляется по формуле:
Диагонали вычисляются по указанной ниже формуле.
где:
- h – высота четырёхугольника;
- m – длина средней линии.
Перпендикуляр OF, проведённый из точки, где пересекаются диагонали, к нижнему основанию, вычисляется по формуле:
.
Задача
Дана трапеция: AB = CD, AG = GB = DH = HC. Доказать, что GH || AD.
Исходя из условий задачи, перед нами равнобедренная трапеция, где GH – средняя линия. Докажем это. По теореме Фалеса отрезок GH делит AB с CD пополам, о чём сказано в условии, значит GH || BC || AD.
Как вы считаете, материал был полезен?