Усеченный конус: формула объема, площади поверхностей и другое

Конус – объемное тело, получаемое посредством вращения треугольника с углом 90° вокруг катета – его высоты. Расстояние от вершины до любой точки круга в основании тела называется образующей. Рассмотрим, как проводится расчет прямого и усеченного конусов: по каким формулам определяют их площади, объемы. 

Понятие

Принципы образования геометрического тела просты. Представим две параллельные плоскости a и a1. С расположенной на первой точке перпендикуляр опускается на вторую. Точка на a1 – основание перпендикуляра, она является центром круга. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой круга на a1, получится конус. Основание перпендикуляра его – высота.

Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании – диаметром нижней поверхности, гипотенуза – образующей.

Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равняется сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l² = h² + r². Отсюда 

Разновидности конусов

В геометрии насчитывают почти десяток типов конусов:

• Прямой круговой – нижняя грань представлена кругом – фигурой, имеющей центр симметрии. Ось, которая проходит от вершины к центру основания, перпендикулярна плоскости последнего.
• Наклонный либо косой – проекция вершины на нижнюю поверхность не совпадает с его центром.
• Круговой – с кругом в центре.
• Прямой – нижняя поверхность представлена кругом либо эллипсом. Центр нижней поверхности совпадает с проекцией вершины на неё.
• Гиперболический, параболический, эллиптический – опираются на соответствующие фигуры.
• Равносторонний – образующая равна диаметру нижней поверхности.
• Усеченный – ограниченный плоскостью, параллельной основанию. Располагается между ним и вершиной геометрического тела.
• Двойной – два одинаковых тела имеют общую вершину или основание и ось – проходит через оба тела.

Площадь

Под площадью подразумевают количество квадратов со стороной единица, помещающихся на определенной поверхности. 

Площадь прямого конуса определяется по формуле:

• основания – S_осн = πr²; r – радиус;
• боковой поверхности – S_бп = πrl; l – длина;
• полная – S = S_осн + S_бп = πr² + πrl = πr (r + l).

Пример:

• диаметр равен 12 см;
• длина образующей – 10 см.

Решение.

Радиус – это половина диаметра: 12/2 = 6 см.

Подставим значения в выражение: S = πr (r + l).

Получим: S = π * 6 *(6 + 10) = 96 π ≈ 301,584 см2.

Как вычислить площадь усеченного конуса

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса отличается от используемой для вычисления прямого.

S_бп=πl(r + R).

Формула площади полной поверхности усеченного конуса:

S = S_бп + S₁ + S₂, здесь:

S₁ и S₂ – площади поверхностей усеченного конуса.

S₁ = πr², S₂ = πR².

Подставляем значения и упрощаем:

S = π(r² + (r + R)l + R².

Зная радиусы – 6 и 10 см, расстояние от вершины к лежащей на круге точке – 12 см найдём площадь граней.

S = π * (6² + (6 + 10) * 12 + 10²) = 328π ≈ 1030,4 см³.

Объем усечённого конуса

Объем – пространство, занимаемое геометрическим телом. Численное значение указывает на количество кубиков с гранью единица, помещающихся в конусе. Объем тела вычисляется как треть произведения площади основания на его высоту.

Основание – круг, его поверхность рассчитывается по формуле: S_осн = πr². После подстановки получим:

.

Пример: вычислить объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Ставим значения в формулу, пошагово упрощаем выражение.

Если известен диаметр, разделите его на два: .

Вычислим объем усеченного конуса. Для понимания, от полного объема исходного тела нужно отнять значение отрезанного параллельной нижней грани плоскостью.

Формула объема усеченного конуса:

Высота

Существует несколько способов как найти высоту усеченного конуса. Какой подойдёт, зависит от исходных данных.

Когда даны радиусы оснований и объем, достаточно провести вычисления:

 

Для прямого при известном радиусе или диаметре оснований с образующей можно воспользоваться теоремой Пифагора: