| Подготовьтесь к сдаче ЕГЭ интересно и эффективно
Усеченный конус: формула объема, площади поверхностей и другое
107

Усеченный конус: формула объема, площади поверхностей и другое

Содержание:





Конус – объемное тело, получаемое посредством вращения треугольника с углом 90° вокруг катета – его высоты. Расстояние от вершины до любой точки круга в основании тела называется образующей. Рассмотрим, как проводится расчет прямого и усеченного конусов: по каким формулам определяют их площади, объемы. 

TutorOnline RU

Понятие

Принципы образования геометрического тела просты. Представим две параллельные плоскости a и a1. С расположенной на первой точке перпендикуляр опускается на вторую. Точка на a1 – основание перпендикуляра, она является центром круга. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой круга на a1, получится конус. Основание перпендикуляра его – высота.

Принципы образования геометрического тела просты. Представим две параллельные плоскости a и a1. С расположенной на первой точке перпендикуляр опускается на вторую. Точка на a1 – основание перпендикуляра, она является центром круга. Если соединить точку на плоскости a с каждой точкой круга на a1, получится конус. Основание перпендикуляра его – высота.

Второй вариант образования рассматриваемого геометрического тела: прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании – диаметром нижней поверхности, гипотенуза – образующей.

прямоугольный треугольник вращается вокруг катета по или против часовой стрелки. Катет, ставший осью, будет высотой конуса, лежащий в основании – диаметром нижней поверхности, гипотенуза – образующей.

Длина образующих одинакова, их совокупность называется боковой поверхностью. Квадрат длины образующей равняется сумме квадратов высоты и радиуса основания (из теоремы Пифагора): l2 = h2 + r2. Отсюда l= r2+ h2



Разновидности конусов

В геометрии насчитывают почти десяток типов конусов:
  • Прямой круговой – нижняя грань представлена кругом – фигурой, имеющей центр симметрии. Ось, которая проходит от вершины к центру основания, перпендикулярна плоскости последнего.
  • Наклонный либо косой – проекция вершины на нижнюю поверхность не совпадает с его центром.
  • Круговой – с кругом в центре.
  • Прямой – нижняя поверхность представлена кругом либо эллипсом. Центр нижней поверхности совпадает с проекцией вершины на неё.
  • Гиперболический, параболический, эллиптический – опираются на соответствующие фигуры.
  • Равносторонний – образующая равна диаметру нижней поверхности.
  • Усеченный – ограниченный плоскостью, параллельной основанию. Располагается между ним и вершиной геометрического тела.
  • Двойной – два одинаковых тела имеют общую вершину или основание и ось – проходит через оба тела.


Площадь

Под площадью подразумевают количество квадратов со стороной единица, помещающихся на определенной поверхности. 

Под площадью подразумевают количество квадратов со стороной единица, помещающихся на определенной поверхности. 

Площадь прямого конуса определяется по формуле:

  • основания – Sосн = πr2; r – радиус;
  • боковой поверхности – Sбп = πrl; l – длина;
  • полная – S = Sосн + Sбп = πr2 + πrl = πr (r + l).

Пример:

  • диаметр равен 12 см;
  • длина образующей – 10 см.

Решение.

Радиус – это половина диаметра: 12/2 = 6 см.

Подставим значения в выражение: S = πr (r + l).

Получим: S = π * 6 *(6 + 10) = 96 π ≈ 301,584 см2.



Как вычислить площадь усеченного конуса

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса отличается от используемой для вычисления прямого.

Как вычислить площадь усеченного конуса

Sбп=πl(r + R).

Формула площади полной поверхности усеченного конуса:

S = Sбп + S1 + S2, здесь:

S1 и S2 – площади поверхностей усеченного конуса.

S1 = πr2, S2 = πR2.

Подставляем значения и упрощаем:

S = π(r2 + (r + R)l + R2.

Зная радиусы – 6 и 10 см, расстояние от вершины к лежащей на круге точке – 12 см найдём площадь граней.

S = π * (62 + (6 + 10) * 12 + 102) = 328π ≈ 1030,4 см3.



Объем усечённого конуса

Объем – пространство, занимаемое геометрическим телом. Численное значение указывает на количество кубиков с гранью единица, помещающихся в конусе. Объем тела вычисляется как треть произведения площади основания на его высоту.

V= 1/3Sоснh.

Основание – круг, его поверхность рассчитывается по формуле: Sосн = πr2. После подстановки получим:

V= 13r2h.

Пример: вычислить объем тела: r = 6 см, h = 9 см. Ставим значения в формулу, пошагово упрощаем выражение.

V= 13r2h=13π*62*9 = 13 * 36 * 9 = 13π*324= 108π ≈ 339,29 см3.

Если известен диаметр, разделите его на два: r= 12d.

Вычислим объем усеченного конуса. Для понимания, от полного объема исходного тела нужно отнять значение отрезанного параллельной нижней грани плоскостью.

Формула объема усеченного конуса:

V= 13πh (R2+R*r+r2).



Высота

Существует несколько способов как найти высоту усеченного конуса. Какой подойдёт, зависит от исходных данных.

Когда даны радиусы оснований и объем, достаточно провести вычисления:

h= 3Vπ(R2+R*r+r2).

 

Существует несколько способов как найти высоту усеченного конуса. Какой подойдёт, зависит от исходных данных. Когда даны радиусы оснований и объем, достаточно провести вычисления:

Для прямого при известном радиусе или диаметре оснований с образующей можно воспользоваться теоремой Пифагора:

h2 = l2 – r2, h= l2-r2, r = 12d.

Поделитесь в социальных сетях:
13 октября 2021, 19:58


Как вы считаете, материал был полезен?

Для оценки комментариев необходимо «войти на сайт».