Вход   →

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

18 марта 2019

Содержание:

  1. Свойства равнобедренного треугольника.
  2. Признаки равнобедренного треугольника.
  3. Формулы равнобедренного треугольника:
    • формулы длины стороны;
    • формулы длины равных сторон;
    • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием

Равнобедренный треугольник

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание 

 


Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

равнобедренный треугольник ABC

Доказательство теоремы: 

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно  углы  при основании ∠ BАC = ∠ BСA

 

 

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

  • Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
  • Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
  • Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Высота. медиана, биссектриса в равнобедренном треугольнике

Доказательство теоремы:

  • Дан Δ ABC.
  • Из точки В проведем высоту BD. 
  • Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
  • Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
  • В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1). 
  • АВ = ВС — боковые стороны равны.
  • Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам. 
  • Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
  • Биссектриса, высота и медиана это один отрезок - BD 

Вывод: 

  1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
  2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
  3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.



  • Теорема 5. Если три стороны одного треугольника  равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

два треугольника

Доказательство теоремы: 

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Третий признак равенства треугольников.

Доказательство от противного.

  • Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
  • Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
  • Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

 

Признаки равнобедренного треугольника

  1. Если в треугольнике два угла равны.
  2. Сумма углов треугольника 180°. 
  3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
  4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой. 
  5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

 

 

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

 

Формулы сторон равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

 

Формулы длины стороны (основания — b): 

  • b = 2a \sin( \beta /2)= a \sqrt{2-2 \cos \beta}
  • b = 2a \cos \alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

  • a=\frac{b}{2 \sin(\beta /2)}= \frac{b}{\sqrt{2-2 \cos \beta}}
  • a=\frac{b}{2 \cos\alpha}

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

  • L — высота=биссектриса=медиана
  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • a — углы при основании
  • b — угол образованный равными сторонами

 

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

  • L = a sina
  • L = \frac{b}{2}*\tg\alpha
  • L = a \sqrt{(1 + \cos \beta)/2}=a \cos (\beta)/2)

 

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

  • L = \sqrt{a^{2} -b^{2}/4}

 

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника

  • b — сторона (основание)
  • а — равные стороны
  • h — высота

 

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

 

S=\frac{1}{2}*bh


 

Смотри также:

Еще нет аккаунта?

Пользователям Бингоскул доступна бесплатная подготовка к ЕГЭ по всем видам ФИПИ, просмотр решений и отслеживание статистики
Регистрация

Уже зарегистрированы?

Авторизуйтесь в своей учетной записи, чтобы получить доступ к расширенным возможностям функционала сайта
Вход

Вход в систему

Регистрация

Регистрируясь, я подтверждаю своё согласие с условиями пользовательского соглашения

Активация аккаунта

Спасибо за регистрацию
Мы отправили письмо на указанный электронный адрес.
Чтобы завершить регистрацию, проверьте почтовый ящик и перейдите по ссылке в письме.